Разложение в ряд Лорана с помощью геометрической прогрессии.

Пример. Разложить функцию :

а) в ряд Лорана в кольце

б) во внешней области

в) в ряд Тейлора в круге .

Во-первых, если центр кольца 0, а точки разрыва и , то есть 3 области: , , .

Чертёж:

кольцо, расположенное между двумя точками разрыва, так, чтобы ни одна из низ не была внутри кольца.

Разложим на простейшие дроби. Это действие необходимо в любом случае, независимо от того, в каком множестве надо получать разложение в ряд.

= = система: = .

1) Для разложения в ряд Лорана в кольце, надо вынести за скобку иногда константу, а иногда , чтобы всегда получалось что-то меньшее 1.

Из условия следует и , то есть в знаменателе можно получать и , но нельзя и .

= =

теперь в каждом случае получено выражение вида котрое и является суммой геометрической прогрессии, и его можно превратить в бесконечную сумму по формуле .

= =

=

 

2) Теперь разложим в ряд во внешней области, которую, впрочем, можно также считать кольцом типа . Здесь причём автоматически выполнено также и , т.е. надо получать в знаменталелях выражения и , и в итоге в ответе будут только отрицательные степени.

= = =

в данном случае их можно и объединить, т.к. в каждом слагаемом есть одинаковые степени.

= . В этом ряде Лорана есть только главная часть.

3) Если требуется разложить в ряд в круге, то это получится ряд Тейлора, там наоборот, в обеих дробях надо выносить константу, чтобы было и .

= = =

= .

 

 

Пример (со сдвигом центра)

Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

Решение. Центр в точке 1, тогда расстояние до ближайшей особой точки равно 3, а до второй 4. Получается, что кольцо, где будет ряд, для этой задачи: .

Разложение на простейшие дроби то же самое, .

Но после этого надо отделить выражение .

= далее в соответствии с неравенствами надо вынести за скобку в одной дроби константу, а в другой .

= =

= .

Объединить их нельзя, так как в одной части отрицательные степени, а в другой части положительные, это главная и правильная часть ряда соответственно.

Ряды Фурье.

 

Скалярное произведение функций.

Вспомним скалярное произведение векторов .

Для функций можно построить обобщение. Если заданы 2 функции , то очевидно, их можно умножить в каждой точке. Затем все эти произведения надо проинтегрировать, так как точек на интервале бесконечное количество. Получается как бы бесконечное количество координат.

Итак, определим скалярное произведение пары функций на интервале по формуле: .

Можно считать, что это верно и на отрезке , ведь две граничные точки не влияют на величину интеграла.

Пример. Найти скалярное произведение и на интервале (0,1).

Решение. = = .

 

Свойства скалярного произведения, которые легко следуют из свойств линейности интеграла:

,

,

Вспомним, что для векторов есть понятие модуля,

. Аналогичное понятие для функций называется нормой функции:

.

Очевидно, что этот квадратный корень существует, ведь , а значит и .








Дата добавления: 2017-06-02; просмотров: 1956;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.