Схема Бернулли. Формула Бернулли

1. Схема Бернулли. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью Р. Тогда вероятность непоявления события А, т.е. Р( ) равна q=1-p.

Вероятность того, что событие А произойдет в этих n независимых испытаниях ровно k раз, можно вычислить по формуле Бернулли

Для определения вероятности появления события A менее m раз (k < m), более m раз (k > m), хотя бы один раз ( ) и т. п. могут быть использованы формулы:

,

,

.

Пример: Прибор состоит из пяти узлов. Надежность (вероят­ность безотказной работы в течение времени t ) для каждого узла равна 0,9. Узлы выходят из строя независимо один от друго­го. Найти вероятность того, что за время t откажут ровно два узла.

Решение: Рассмотрим событие А - выход узла из строя за время t. Число узлов n=5. Число отказавших узлов за время t: k=2.

Р(А) - вероятность выхода узла из строя: p =P(A)=0,1. Тогда q=1-p=1-0,1=0,9.

Теперь вычислим искомую вероятность по формуле Бернулли:

Р₅(2) = (0,1)^{2 .}(0,9)³=10^.0,01^.0,729=0,0729.

Пример .Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение

а) Искомую вероятность находим с помощью формулы Бернулли (14), учитывая что , , , .

.

б) «Не менее трех» означает, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения искомая вероятность равна

.