Численное дифференцирование и интегрирование. Решение дифференциальных уравнений и систем

К численному дифференцированию чаще всего обращаются, когда значе­ния функции известны в отдельных точках (например, результаты экспери­ментов в виде таблиц).

Приближенное значение производной функции Дх) в точке х₀ при вы­бранном шаге к > 0 находится по одной из формул:

Общие вопросы численного дифференцирования можно рассмотреть на примере заданной на отрезке [а, Ь] функции Дх), имеющей непрерывные про­изводные до (л+1) порядка, представленной в виде суммы

Дх) = Р_п(х)₊К(х), где Р_п(х) — интерполяционный полином степени п, построенный по узлам интерполяции х₀, х_и ..., х„; Р(х) — остаточный член.

Обычно в формуле (3.11) берут в той или иной форме интерполяционный многочлен и в соответствии с (3.12) находят приближенные значения произ водных в узлах интерполяции.

Интерполируя многочленом Ньютона и сравнивая его с разложением функции в ряд Тейлора, находят так называемые разностные формулы чис­ленного дифференцирования

К численному интегрированию обращаются в тех случаях, когда функция определена на всем промежутке интегрирования, но интеграл от нее не выра­жается в элементарных функциях.

ь Определенный интеграл \/(х)с1х выражает площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 3.4). Эту площадь можно вычислить приближенно, если за­меним кривую у т Дх) некоторой ломаной линией. Разбив интеграл [а, Ь] на п

равных частей п —------ и определив в точках деления х₀, х_ь ..., х„ ординаты

п у₀, Уь •••, Уп, площадь интеграла приближенно можно определить по формуле

трапеций

[/(*)<&- ——(у₀+2у₁+2у₂ + ... + 2у_п_₁ + у_п).

Другой простейшей формулой численного интегрирования является фор­мула парабол (или формула Симпсона), основанная на замене подынтеграль­ной кривой суммой дуг парабол второго порядка.

Разработаны и другие способы приближенного вычисления интегралов. Выше, при рассмотрении метода имитационного моделирования, отмечалось, что эффективным способом решения интегралов может служить метод Монте-Карло. Применяются также графические методы дифференцирования и интег­рирования, отличающиеся самой невысокой точностью, но обладающие про­стотой и наглядностью.

Аналитические методы решения дифференциальных уравнений, являю­щихся неотъемлемой частью многих математических моделей, получили ши­рокое развитие.

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения, решить кото­рые в замкнутой форме не удается. В этом случае приходится применять при­ближенные методы решения уравнений. Во многих случаях может оказаться полезным представление решения в виде ряда Тейлора.

Метод Пикара применим к решению нормальных систем дифференциальных уравнений и, следовательно, дифференциальных уравнений высшего по рядка.

Достаточно часто при решении уравнений вида у' = =Цх, у) применяем

метод Рунге-Кутта.

Методы планирования экспериментов в приложении к горному производству

Если информации о рассматриваемом процессе недостаточно или изучае-I мое явление настолько сложно, что не представляется возможным составить | детерминированную модель, то используют экспериментально-статистические

методы. Различают пассивный и активный эксперименты. •

Пассивный эксперимент — традиционный метод, когда с целью изучения

процесса ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных. К пассивному эксперименту относится сбор статистических данных работы установок, предприятий с последующей обработкой ме тодами математической статистики. Традиционное планирование эксперимента по Зейделю-Гауссу состоит в том, что факторам (д;,, х₂, ..., х_к),

определяющим в конечном счете значение отклика (выхода) у, задают ряд I значений (уровней). На каждом уровне одного фактора ставятся опыты по | всем уровням другого. При равном числе т уровней, параллельных измерений | на каждом уровне п и факторов к необходимо выполнить количество опытов Ы = пт^к.

22 . Оптимальный двухуровневый план

Задачей активного планирования экспериментов служит кратчайший путь нахождения функции отклика

связывающей параметр оптимизации (отклик, выход) у с переменными про­
цесса х\, х₂,..., х_к? называемыми факторами. Координатное пространство⁵jc_b х₂,
...,х_к— это факторное пространство, а графическое изображение функции от­
клика в пространстве — поверхность отклика (на плоскости это совокупность
линий равных уровней функции отклика). ' ^:

При планировании экспериментов факторы имеют фиксированные значе­ния уровней. Если эксперименты проводятся лишь при двух значениях факто­ров и при этом в экспериментах осуществляются все возможные комбинации факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ или 2* плана).

Постановка полного факторного эксперимента сводится к выбору уравне­ния регрессии, составлению плана опытов, расчету коэффициентов регрессии, оценке значимости этих коэффициентов, анализу уравнения регрессии.

Выбор уравнения регрессии зависит от числа изучаемых факторов и ап­риорной информации о характере их влияния на функцию отклика и наличия эффекта взаимодействия. Для двух факторов уравнение регрессии без членов высшего порядка будет

и для трех факторов —

В этих уравнениях х_ь х₂, х_ъ — значения факторов; Ь₀ — свободный член при Х\ = 0; Ъ\, Ь₂, Ь₃ — коэффициенты регрессии при соответствующих х_ь характе­ризующие влияние данного фактора на функцию отклика у; b_i2, b_n, Ь_2Ъ—-'коэф­фициенты регрессии, свидетельствующие о двойном взаимодействии факторов; Ь\гг — то же, свидетельствует о тройном взаимном влиянии факторов. Анало­гично записываются уравнения для четырех и более факторов.

Пример 61.

Построить план первого порядка экспериментов р/р₀ = ftp, w) для созда ния математической модели в виде полинома:

Центр исследуемой области/? = 80 МПа, w = 16% и в него переносится на­чало координат. Выбираем интервал варьирования переменных р, w: Ар = ± 20 Мпа, Aw = + 2%. Этот этап решается на основе знания объектов исследования (прессования торфа) и основных закономерностей влияния р, w на степень прес­сования р/ро (р — плотность брикетов, р₀ — насыпная плотность торфа). На сле­дующем этапе переходим кодированным переменным дг_ь х₂:

Составим матрицу планирования экспериментов по определению зависи­мости у = Дх_ь х₂), где для простоты обозначили у = — (табл. 4.3).

Ро