Предел функции в бесконечности и в точке.

Определение.Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число N, зависящее от ε - N(ε), что для всех x, таких что выполняется неравенство .(Рис.2)

Кратко это определение можно записать так:

 

Геометрический смысл предела

  Рис.2     Рис. 13

При достаточно больших х, значение функции мало отличается от . (Ординаты лежат в полосе b-ε< < b+ε)

 

 

Пусть дана функция , определенная в проколотой окрестности точки .

Определение.Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого сколь угодно малого числа существует δ, зависящее от ε - такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению , выполняется неравенство .(Рис. 3)

Обозначение: .

 

 

Геометрический смысл предела

 

  Рис.3     Рис. 12

Найдется такая δ-окрестность точки x0, что для всех х из этой окрестности, соответствующие ординаты функции будут заключены в полосе b-ε< < b+ε).

 

Пример 1. Доказать: .

Доказательство. Для любого имеем:

.

Таким образом, для любого существует такое, что как только . Следовательно, .

Определение.Число называется пределом функции при слева, если для любого сколь угодно малого числа существует такое , что для всех , удовлетворяющих соотношению , выполняется неравенство .

Обозначение: .

Определение 2.Число называется пределом функции при справа, если для любого сколь угодно малого числа существует такое , что для всех , удовлетворяющих соотношению , выполняется неравенство .

Обозначение: .

 

Замечание 1. Если функция имеет в точке оба односторонних предела, которые равны между собой и равны числу , то функция имеет в точке предел равный .

Замечание 2. Определение предела в точке не требует существования самой функции в этой точке (т.е. изучает поведение функции в окрестности этой точки).

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной (БМВ) при или при , если ее предел равен нулю:

.

Свойства бесконечно малых величин:

- алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

- произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ;

- частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть БМВ.

Пример. Функции и являются б/м при , т.к. и .

 

Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной (ББВ) при или при , если ее предел равен бесконечности.

 

!!! Если - БМВ при или при , то функция является ББВ при или при . Верно и обратное утверждение.

Свойства бесконечно больших величин:

- сумма ББВ и ограниченной функции, есть ББВ;

- произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0 есть ББВ;

- частное от деления ББВ на функцию, имеющую предел, есть ББВ.

 

 








Дата добавления: 2017-05-18; просмотров: 398;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.