ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССАХ

С волнами и волн. процессами встречаемся постоянно. Круг явлений очень широк.

Опр-е: Волной называется любое возмущение вещества или поля в пространстве, распространяющееся с конечной скоростью и обладающее (тем самым переносящее) энергией.

Волна – процесс во времени и в пространстве. Уравнение, которое даёт смещение колеблющихся частиц (или меняющихся величин) называется уравнением волны или волновой функцией - ψ( , t) = ψ(x,y,z, t). Часто это непростая функция.

а) При = _o = const и t t_o анализируют во времени волновую функцию ψ(t), называемую осциллограмой.

б) При t t_o имеем как бы мгновенный снимок волны в разных точках прост-ва r r_o .

Общая классификация

Она весьма условна. Волны различают:

I. По физической природе возмущения и виду среды:

а) механические (упругие, в том числе и звуковые)

1) в газах, жидкостях, твёрдых телах;

2) на поверхности, границе раздела сред;

б) электромагнитные

II. По виду волновой функции и типу изменяющихся физ. величин:

а) скалярные

например: в качестве волновой функции выступает давление ψ Þ p(r,t)

б) векторные (смещение связано с направлением)

ψ( ,t) Þ ( ,t) или ( ,t)

А также сюда отнесём:

1) гармонические,

2) негармонические

или:

3) линейные;

4) нелинейные (хар-ки зависят от амплитуды)

или:

5) стационарные ψ = ψ(х υt).

6) нестационарные.

Направление по которому задаётся вектор изменяющейся величины – это направление поляризации.

Для упругих волн выделяют: продольные и поперечные волны.

Световая волна может быть:

а) плоско поляризованной: ( ,t) – лежит в конкретной плоскости,

б) эллиптически (циркулярно) поляризованной: конец ( ,t) вращается по эллипсу или кругу.

III. По числу степеней свободы:

а) одномерные волны (плоские);

б) двухмерные (поверхностные) волны;

в) сферические (трёхмерные).

Иногда волны разделяют по виду волнового фронта:

а) плоские,

б) сферические,

в) цилиндрические

IV. По повторяемости процесса :

а) периодические;

б) не периодические;

в) уединённые (в том числе сохраняющиеся - солитоны).

Особую роль играют плоские, гармонические (периодические) волны.

ЛИТЕРАТУРА:

1. И.В. Савельев. Курс физики,тт.1, 2.

2. Т.И. Трофимова. Курс физики, 1998 г.

3. Т.С. Егорова, А.П. Жилинский, И.Д. Самодурова. Физика, ч.3.2:

Волновые процессы (конспект лекций), МТУСИ, 2004г.

Гл.1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

§ 1.1 Гармонические периодические волны

1.1.1. Плоские волны

Такие волны возникают, если источник колебаний является гармоническим, а среда – линейной (изотропной).

Ψ(0,t) = A cos(ωt + φ_o) – пусть з–н колеб.источника

В случае т.н. плоской одномерной волны само смещение в т. x запишется через время запаздывания t_з = , а именно: t΄→ t +

Получим: Ψ(х, 0) = Ψ(х, t΄- t_з ) = Ψ(х, t) = A cos (ωt - x + φ_o) =

A cos (ωt - kx + φ_o) –уравнение гармонической плоской волны:

Ψ(х, t) = A cos (ωt - kx + φ_o)

В комплексной форме:

Ψ(х ,t) = А

Часто полагают φ_o равной нулю.

Очевидно, что Ψ(х, t) будет иметь одно и тоже значение, если x υt = const.

Характеристики волны:

А – амплитуда, k – волновое число (k = = )

Знаем: λ – длина волны (пространственный период), υ – фазовая скорость

ω – циклическая частота колебаний, Т – период колебаний (ω = ),

причём: λ = υ ∙Т

Фазовая скорость находится из условия постоянства фазы:

(ωt – ) = const

Дифференцируем : ω dt – = 0

Или: = υ – фазовая скорость.

Если имеется затухание А = A_o е^{- δt} , аплитуда убывает, процесс не является строго гармоническим.

Плоская волна произвольного направления:

Ψ( ,t) = A cos (ωt – k_xx –k_yy –k_zz) = A cos (ωt – ).

1.1.2. Сферическая и цилиндрическая волны

Сферическая волна

Такая волна порождается точечным источником и распространяется во все стороны, амплитуда её уменьшается обратно пропорционально расстоянию, поскольку энергия проходит через большую поверхность.

Ψ( ,t) = A(r) cos (ωt – ), где A(r) =

Цилиндрическая волна

Волна порождается протяжённым источником колебаний (нить, тонкий цилиндр). Амплитуда А , где ρ – полярный радиус.

Ψ( ,t) = A(ρ) cos (ωt – ),

§ 1.2 Волновое уравнение для плоских волн

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение

= υ² (1.2)

Удовлетворяется, если Ψ(х ,t) = A cos (ωt - kx + φ_o) или комплексной форме Ψ(х ,t) = А

(1.2) - известное волновое уравнение. Это линейное дифф. уравнение второго в частных производных.

= -Аω² cos (ωt - kx + φ_o); = -Аk² cos (ωt - kx + φ_o); = υ²

Для волны произвольного направления = k_xx + k_yy + k_zz и

ψ(x,y,z) = ψ( ) соответственно:

ψ(x,y,z) = или

+ + = (1.2.а)

Для получения однозначного решения необходимо задание начальных и граничных условий!

Дисперсия

Соотношение υ² = определяет связь фазовой скорости, циклической частоты и волнового числа. Оно носит название дисперсионного уравнения. Зависимость ф. скорости от частоты (волнового числа) называют дисперсией. Это одна из важнейших сторон распространения волн в реальных средах.

Различают нормальную, аномальную дисперсии и отсутствие оной (нулевую дисперсию).

Разложение призмой белого света в спектр – проявление дисперсии.

§ 1.3 Принцип суперпозиции (1.3.1) и спектр колебаний (1.3.2)

1.3.1.

Т.к. волновое ур-е является линейным, то алгебраическая (или векторная) сумма двух (и более) любых решений также является его решением.

Ψ₁₂ = ₁ Ψ₁ + ₂ Ψ₂ (*); ψ =

Убедиться в этом можно непосредственной подстановкой (*) в волновое ур-е.

В математике представление сложной функции в виде набора гармонических составляющих называется разложением Фурье.

Для волн (функции двух переменных) оно имеет вид:

Ψ(х ,t) =

1.3.2. Спектр колебаний

Различают частотный и энергетический спектры.

Зависимость амплитуды гармонических составляющих от частоты определяет частотный спектр. Важнейшая характеристика волнового сигнала.

Т.к. энергия пропорциональна квадрату амплитуды , то то энергетический спектр и есть зависимость А² от ω.

К гл. 2 УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Такие волны возникают в среде при наличии квази упругих сил. В твёрдых телах они обусловлены смещением атомов (молекул) или ионов из положения равновесия вследствие возмущения среды, в жидкостях или газх

Изменяется плотность в соответствующих элементах среды.

§ 2.1 Цепочка атомов и волновое уравнение для непрерывной среды

Наблюдение показывает, что если смещение источника возбуждения колебаний происходит по гармоническому закону, то получаем бегущую волну

Ψ(х ,t) = А ,

где -координата n –го атома.

Фазовая скорость при нулевой дисперсии υ_р с_s = ,

где – расстояние между атомами в цепочке, K_F – коэфф. упругости при поперечных смещениях, m – масса атома.

От дискретного уравнения можно перейти к ур. для непрерывной среды

= с_s² ,

Т.е. к обычному волновому уравнению.

В газах и жидкостях возникают продольные волны сжатия и разряжения, причём в качестве волновой функции выступает давление р(x,t) в среде:

= с_s² ,

Фазовая скорость в газах c_s = . Здесь Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, γ – постоянная адиабаты γ = .

В жидкостях можно пользоваться формулой

c_s = .

Фазовая скорость продольных (плоских) волн

c_s =

Здесь и выше ρ – плотность среды, Е – упругая хар-ка (модуль Юнга, играет роль коэффициента жёсткости).

§ 2.2 Энергия упругих волн

Энергия волны складывается из потенциальной и кинетической энергии элементов среды.

Для гармонической волны Ψ(х ,t) = A cos (ωt - kx) кинетическая энергия единицы объёма

w_k = ρυ² = sin² (ωt - kx)

Потенциальная энергия запасается в результате работы источника против упругих сил

w_p = ( )² = sin² (ωt - kx)

Характерно, что объёмные плотности энергии кинетической и потенциальной энергий волны (колебаний) совпадают!

Полная энергия ед. объёма (объёмная плотность)

w = w_k + w_p = sin² (ωt – kx)

Плотность потока энергии (вектор Умова) определяют как произведение

= w

Модуль этого вектора называют интенсивностью волны

I_s = ρ c_s² ω² A²

Интенсивность волны можно определить как энергию, переносимую (падающую) в единицу времени через единичную площадку (т.е. это мощность, приходящаяся на единицу площади).

Это важнейшая хар-ка волны.

Гл.3 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 3.1 Волновое уравнение для эл.-м.волн

3.1.1.Уравнения Максвелла для волнового поля

Эл.-маг. волны это переменные эл. и маг. поля или иначе возмущения в виде полей. К их наличию при определённых условиях можно прийти исходя из классической теории Максвелла.

Система уравнений М. в дифф. форме:

rot = - (I); div = ρ (III);

rot = + (II); div = 0 (IV);

= ε_o ε (V); = μ_o μ (VI); = γ (VII).

Однозначность их решений определяется начальными и граничными условиями.

Однажды возбуждённое эл.-м. поле может существовать само по себе, независимо от источников в форме волны в области, где нет свободных зарядов и нет переменных токов.

3.1.2. Волновое уравнение

Итак: пусть среда однородна и изотропна и нет в ней свободных зарядов и макротоков (j = 0, ρ = 0).

Допустим, что плоская волна распространяется в направлении оси ОХ.

Тогда: функции (х,t) и (х,t) и их проекции не будут зависеть от z и у, а производные , и (здесь i= z,у,x) будут равны нулю.

Учитывая, что:

[ rot ]_x = - - μ_o μ , и выражая аналогично

[ rot ]_z и [ rot ]_z ,

получают:

- μ_o μ = , ε_o ε = - (*)

ε_o ε = , - μ_o μ = - , (**)

Достаточно воспользоваться первой парой уравнений (*) для E_y и H_z , причём будем исключать наличие статических полей E_x и H_x

(т. к. имеем , = 0). Для E_z и H_y ситуация подобна.

Дифференцируя по t второе ур-е в (*), меняя порядок производной по времени и координате ( = ) и используя первое уравнение (*)

получаем:

=

Приняв за квадрат фазовой скорости υ² приходим к волновому уравнению для плоской волны Е_у (х,t). Второе уравнение для Н_z (х,t) получают аналогично. Итак:

= υ2 (2.1) = υ2

Волновое ур-е эл.-м. волны включает два независимых уравнения для Е_у (х,t) и Н_z (х,t), их вид – и есть решения (2.1):

Е_у (х,t) = Е_m cos(ωt - kx + φ_oE)

H_z (х,t) = H_m cos(ωt - kx + φ_oH)

В экспоненциальной форме

Е_у (х,t) = Е_m

H_z (х,t) = H_m

§ 2.2 Характеристики эл.-м. волны

Поперечность эл.-м. волны

Мы пришли к тому, что плоская волна распространяется в направлении 0Х

При этом: = Е_y ; = H_z или ^ , волна поперечна.

0Х – нормали к к её фронту. который У0Z.

Фазовая скорость

υ_ф υ_р =υ и направлена по 0Х. υ = =

Тройка векторов , и - правовинтовая.

В вакууме ε =1, μ =1, соответственно υ_ф = с – скорости света

В среде υ_ф = .

Синфазность волн

Если записать решения для Е_у (х,t) и H_z (х,t) в экспоненциальной форме и

воспользоваться вторым уравнением пары (*), то

k H_m = ε_oε ωE_m (***) или

Равенство возможно только при условии,что

=

Связь амплитуд

Из (***) также следует с учётом взаимосвязи ω, υ и k

E_m = Н_m

В принципе, это связь между Е и Н.

Поляризация эл.-м. волны

Волна поперечна. Вектор колеблется в плоскости УХ, в пл. ZХ.

[ ] 0Х

Отметим, что в электромагн. волне силовым вектором является .

Отношение эл. и маг. сил, действующих на движущийся cо скоростью υ заряд в поле волны

= ,

c – скорость света.

§ 2.3 Энергия эл.-м. волны

2.3.1. Объёмная плотность энергии

Выражения для объёмных плотностей эл. и маг. полей нам известно:

w_э = ε_oεE², w_м = μμ_oН²

Полная энергия единицы объёма с учётом амплитудных соотношений и соответственно равенства w_э = w_м

w = w_э + w_м = ε_oε E² = μ_oμН²

Для среднего: = (ωt – kx) dx =

= εε_o = μμ_o

Полная энергия: W = dV

2.3.2. Поток энергии. Вектор Пойнтинга

Если за поток энергии принять

Ф = -

количество энергии переносимое за ед. времени через некоторую площадку то плотностью потока энергии является

П =

Для электромагнитной волны указанная величина введена Пойнтингом. Это вектор сонаправленный вектору групповой скорости υ_г .

Как и для вектора Умова, используя величину объёмной энергии w , можно записать

= w _г

В вакууме _г = _ф = и

Подставив значение w, запишем:

= ε_oε = = [ ]

Итак:

= [ ] (2.3)

Величина I , определяющая среднее значение модуля в. Пойнтинга

I =

называется интенсивностью волны. Это - скаляр.

I = dt = εε_o c = E_m H_m

I = Em Hm (2.4)

2.3.3. Переносимая мощность. Спектральная плотность мощности

Мощность энергии, излучаемая через поверхность S

N_s = dS_n

Полная мощность, переносимая через замкнутую поверхность

N^* = dS_n

Величины

N_ω = и N_‌λ =

соответственно характеризуют спектральную мощность приходящуюся на ед. интервал частоты или длины волны. Заметим, что нет естественных излучателей мощности на строго фиксированной частоте (длине) волны.

§2.4 Импульс эл.-м. волны. Световое давление.

С эл.-м. волной связан определённый импульс. Если в слабо проводящей среде плотность тока проводимости j, то на ед. объёма действует сила

_ед.об. = [ ] = μ μ_о [ ]

Тогда: = _ед.об. = =

Из релятивистского подхода должно следовать

= = =

При полном поглощении для импульса переданного среде через ед. площади в ед.времени (а это будет иметь смысл давления) получается:

Р_дав. =

При наличии отражения с коэфф. ρ

Р_дав. = (1 + ρ) = w (1 + ρ)

Гл.4 СЛОЖЕНИЕ ВОЛН

§ 4.1 Волновые пакеты (4.1.1). Бигармоническая волна (4.1.2)

4.1.1.

Гармоническая волна – идеальная модель. Процесс происходит за конечное время и формируется в ограниченном пространстве. В соответствии с принципом суперпозиции произвольную волну в линейной среде можно представить в виде группы (гармонических!) волн или волнового пакета.

Пример такого пакета – гармонический цуг со сложной спектральной плотностью амплитуды А(ω) = А_ω dω.

Временной и пространственный спектры оказываются идентичными

( А(k) = A_k dk ) при отсутствии дисперсии. В силу преобразования Фурье формы огибающих спектра и цугов взаимно обратимы.

Также в силу того, что фазовые скорости волн, образующих пакет,

одинаковы, его форма сохраняется. В противном случае, когда υ = f (ω),

волновой импульс “расплывается”.

4.1.2. Бигармоническая волна

Рассмотрим пространственный пакет из двух близких волн, когда:

А₁ = А₂ = А; ω₁ = ω – dω, ω₂ = ω + dω; k₁ = k – dk , k₂ = k + dk

Итак:

Ψ₁ (x,t) = А₁ cos [(ω – dω)t – (k – dk)x]

Ψ₂ (x,t) = А₂ cos [(ω + dω)t – (k +dk)x]

Используя формулу cos α + cos β = 2 cos cos , получаем, пренебрегая бесконечно малыми

Ψ (x,t) = Ψ₁ + Ψ₂ = 2А cos (tdω - xdk) cos (ωt -k x)

Имеем в итоге амплитудно - модулированную гармоническую волну.

Ψ(t) представляет процесс, называемый биениями с периодом Т_мод. = .

§ 4.2 Групповая скорость. Соотношения Рэлея

Скорость переноса центра нашего пакета (максимальной амплитуды А_m = 2А) находят дифференцированием из условия (tdω - xdk) = const и называют её групповой

υ_г =

Связь между фазовой и групповой скоростью дана Рэлеем:

υ_г = = υ_ф +k

или

υ_г = υ_ф - λ ,

если учесть, что:

k = , dk = - dλ

Итак, формулы Рэлея:

υг = υф + k (4.1) υг = υф – λ

Они получаются и для многоволнового пакета.

§ 4.3 Соотношение неопределённости для волн

Для волнового пакета с набором волн с частотами ω(k) и волновыми числами из интервала k - k, k + k, описываемого функцией

Ψ (x,t) = (k) cos [ω(k)∙t – kx] dk

амплитуда превращается в нуль, когда сдвиг по фазе каждой волны достигает относительно волны суперпозиции.

Значения огибающей пакета за пределами / k будут незначительными. Таким образом, соотношениями определяющими область локализации пакета являются

kx , ky , (4.2) kz

Чем меньше область локализации пакета, тем больше разброс волновых чисел и наоборот. Данную связь называют соотношением неопределённости для волн.

Аналогичное соотношение характеризует временную локализацию пакета и носит название теоремы о ширине полосы частот

(4.3)

Уменьшение временной длительности пакета ( t) приводит к расширению частотного спектра гармонических волн, формирующих заданный импульс.

Фурье – разложение пакета по частотам имеет вид:

Ψ (x,t) = (ω) cos [ωt – k(ω)∙x] dω

При нормальной дисперсии волны с более высокими частотами распространяются с меньшими фазовыми скоростями, что приводит к размытию пакета.

§ 4.4 Круговая и эллиптическая поляризация как результат

сложения двух векторных волн

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических линейно поляризованных плоских и взаимно-перпендикулярных волн

(z,t) = E_xo cos (ωt – kz + α)

(z,t) = E_yo cos (ωt – kz)

Если ‌α‌ = 0, то векторная сумма – плоская волна с амплитудой

E_m =

Направление колебаний волны составляет с осью 0Х угол β, причём β

β = arc tg ( )

Если угол α = + , тогда:

(z,t) = E_xo sin (ωt – kz)

(z,t) = E_yo cos (ωt – kz)

и соответственно

+ = 1

Это уравнение эллипса, который в сечении z = 0 вычерчивает конец результирующего вектора , вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω. При α = - вращение будет по часовой стрелке.

Наконец, если E_xo = E_yo =E_o вместо эллипса вычерчивается круг. (Говорят соответственно о “левой” или “правой” эллиптических и о “круговой” поляризациях волны.

Таким образом из двух взаимно-перпендикулярных волн можно сформировать волну любой поляризации.

Интесивность волн неполяризованного (естественного) света I(φ) одинакова по всем направлениям. Для частично поляризованного света вводят величину η, определяющую степень его поляризации

η = .

Гл.5 ЯВЛЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

Под интерференционным эффектом понимают такую суперпозицию волн в пространстве, в результате которой возникает устойчивая картина чередования максимумов и минимумов интенсивности суммарного волнового поля.

§ 5.1 Интерференция от двух источников

5.1.1. Суперпозиция волн от двух источников

Рассмотрим наложение волн одинаковой поляризации, порождаемых двумя гармоническими источниками S₁ и S₂ , совершающих колебания с одинаковой частотой ω₁ = ω₂ = ω.

В произвольной точке М волновые функции складываемых волн

ψ(x₁,t) = А₁ cos (ωt – kr₁ +α₁) = А₁ cos t)

ψ(x₂,t) = А₂ cos (ωt – kr₂ +α₂) = А₂ cos t)

Квадрат амплитуды результирующего колебания в точке М равен:

А² = + +2A₁ A₂ cos [ t) - t)] (5.1)

Видим, что определяющим здесь является значение разности фаз складываемых волн.

5.1.2. Понятие о когерентности

Условием стационарности интерференционной картины является

φ = [ t) - t)] = const

Волны называются когерентными, если их разность фаз имеет постоянное (но своё в каждой точке) значение или является закономерной функцией времени.

Когерентные волны могут быть получены только от когерентных источников c независящей от времени разностью фаз.

Если в (5.1) […] =0, то А = А₁ + А₂ ;

При […] = π, А = А₁ - А₂

У реальных источников излучения разность фаз не остаётся постоянной сколь угодно долго. У тепловых излучателей за время τ (10^-11 10^-13)с она достигает значений π 2π. Величину τ называют временем когерентности. Оно в соответствие с теоремой о ширине полосы частот

подчиняется условию

τ = .

За время наблюдения t τ среднее cos φ =0 и интенсивность результирующего поля I = I₁ + I₂ .

Используют также характерный параметр l_k = τ·υ_ф - длину когерентности.

5.1.3. Условия максимального (а) и минимального (б) ослабления волн

(а).

Полагая в (5.1) разность фаз раной нулю, имеем:

сos φ = 1, A_max =A₁ + A₂ и это при

k (r₁ - r₂ )= 2 πm, где m =0, 1, 2, 3…

Величину (r₁ - r₂ )= r называют геометрической разностью хода лучей. Т.к. k = , получаем условие для интерференционного максимума:

r = m λ (5.2)

(б).

При сos φ = -1 из (5.1) следует А² = = (A₁ –A₂)² или A_min = │A₁ – A₂│

Иначе: k (r₁ - r₂ )= (2m + 1)π Отсюда вытекает условие для минимума

r = (2m + 1)

5.1.4. Перераспределение энергии

Используя связь I A² выражение (5.1) запишем в виде:

I = I₁ + I₂ +2 cos φ

Усиление интенсивности при φ 0

При этом: I_max = ( + )² для φ = 2πm

I_min = ( - )² для φ = (2m +1) π

Перераспределение интенсивности важнейшее свойство интерференции.

При I₁ = I₂ = I имеем: I_max = 4 I и также I_min = 0

§ 5.2 Стоячие волны

Стоячей волной называют суперпозицию двух встречных бегущих гармонических волн одинаковой поляризации, частоты и амплитуды.

Реализуется при интерференции падающей и отражённой волн.

5.2.1. Уравнение волны

Пусть ψ₁ = А₁ cos (ωt - kx) и ψ₂ = А₂ cos (ωt + kx), где А₁ = А₂ = А

Тогда: ψ = ψ₁ + ψ₂ = ∙2А cos kx cos ωt

Амплитудой стоячей волны является А_ст. = │2А cos kx│

Точки среды, где А_ст. = 0 называются узлами ст. волны.

Координаты узлов определим из условия kx =(2m +1)

х_уз. = (2m +1) (m =0, 1, 2, 3…)

Точки среды, где А_ст. = 2А называются пучностями ст. волны

Координаты пучностей определим из условия kx = πm

х_пуч.. = m (m =0, 1, 2, 3…)

Фаза стоячей волны. Между любыми ближайшими узлами фаза всех точек - одинакова и равна ωt.Она меняется скачком при переходе через узел.

5.2.2. Стоячая электромагнитная волна

Уравнения стоячей волны

Колебания совершают два вектора и . Они составляют правую тройку с вектором .

Волновые функции для складываемых волн:

(x,t) = E_o cos (ωt – kx)

₁(x,t) = H₀ cos (ωt – kx) - у бегущей вправо волны

(x,t) = E_o cos (ωt + kx)

₂(x,t) = - H_o cos (ωt + kx) - у встречной, влево бегущей волны

Суммируем: = + =2 E_o cos kx cos ωt

= + =2 H_o sin kx sin ωt

Видно, что эл. и магн. составляющая различаются по фазе на , а по времени соответственно на .

5.2.5. Энергия стоячих волн

Поскольку групповые скорости первичной и отражённой волн противоположны, вектор Умова-Пойнтинга результирующей (стоячей) волны равен нулю:

= _пад.+ _отр. = w _g + w(- _g) = 0

Полная энергия колебаний в стоячей волне между узлами остаётся постоянной, она только периодически переходит из кинетической эн. в потенциальную и наоборот. Особенность этих энергий в стоячей волне, что они локализованы в разных частях системы и максимальны в разные моменты времени.

Объёмная плотность кин. энергии

w_k = ( )² = 2ρω²A² cos² kx ∙sin²ωt

w_п = ( )² = k² A² sin² kx ∙cos² ωt

w_k = w_п

Максимумы кин. энергии находятся в пучностях, а потенц. эн. в узлах волны.

В плоской стоячей электромагнитной волне

w_E = = 2 cos ²kx∙cos ²ωt

w_H = = 2 sin² kx∙sin²ωt

Легко видеть в какие моменты времени и в каких областях пространства эти обёмные плотности энергии максимальны или минимальны.

5.2.6. Влияние границ на характер отражения

Важны при образовании ст. волны условия отражения от преграды: от этого зависит – будет на границе узел или пучность.

Два обстоятельства следует учитывать:

1) Ψ(x,t) – непрерывная функция координат;

2) Сумма потоков падающей и отражённой волне - постоянная величина.

Для упругих волн решающим оказывается так называемо волновое сопротивление среды (параметр z = ρс_s). При отражении от более плотной среды (z₁