Довірчий інтервал для ймовірності появи події при великому обсязі вибірки

 

За точкову оцінку ймовірності появи події в схемі Бернуллі беруть частість , де – загальна кількість незалежних випробувань, – кількість появ події в цих випробуваннях. Задамо довірчу ймовірність і знайдемо такі величини та , щоб виконувалось співвідношення

.

Інтервал буде шуканим довірчим інтервалом, який відповідає надійності .

Розглянемо випадок, коли кількість випробувань у схемі Бернуллі достатньо велике, наприклад, . Крім того, виконуються умови та . При виконанні всіх умов розподіл випадкової величини в силу граничної теореми Муавра-Лапласа близький до нормального розподілу , а випадкова величина має наближено нормальний розподіл . Таким чином, статистика

має наближено стандартний нормальний розподіл .

Користуючись таблицею значень функції Лапласа, для заданої довірчої ймовірності знайдемо таке число , при якому

. (32.5)

Розв’яжемо нерівність, що стоїть у дужках виразу (32.5).

Для цього піднесемо її до квадрату, в результаті отримаємо

;

піднесемо до квадрату та перенесемо всі члени нерівності вліво, будемо мати

. (32.6)

Розв’язуючи останню квадратну нерівність, маємо , де

. (32.7)

Цей результат має геометричну інтерпретацію. Розглянемо Декартові систему координат, по осі абсцис якої відкладаємо частість , а по осі ординат – імовірність . Точки з координатами , які задовольняють нерівності (32.6), знаходяться всередині еліпса (рис. 32.2).

 
 

 

 


Рис. 32.2.

 

Для того, щоб побудувати інтервальну оцінку ймовірності при відомій частості , треба розглянути множину точок всередині еліпса з абсцисою, що дорівнює . Цей інтервал і буде шуканим довірчим інтервалом .

Якщо обсяг вибірки значно більше 100, то величиною у виразі (32.7) можна знехтувати. Тоді границі довірчого інтервалу набувають наближених виразів

.

Приклад 33.1. Подія в серії з незалежних випробуваннях відбулася разів. Побудувати довірчий інтервал для ймовірності появи події з надійністю .

Розв’язання. За умовою задачі маємо таку точкову оцінку ймовірності

.

Оскільки , то границі довірчого інтервалу знайдемо за формулами (32.7), при цьому по , за таблицею значень функції Лапласа, знайдемо .

Отже,

.

Відповідно

.

Отже, з надійністю 0,9 інтервал накриє ймовірність появи події .

 








Дата добавления: 2017-05-18; просмотров: 538;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.