Означення емпіричних (вибіркових) характеристик генеральної сукупності

Нехай задано вибірковий вектор з генеральної сукупності випадкової величини .

Означення 28.1. Функція від вибіркового вектора називається статистикою.

Якщо статистика , то вона є випадкова величина.

Найбільш розповсюджені статистики – це емпіричні (вибіркові) моменти.

Означення 28.2. Вибірковим моментом порядку k називається величина

.

Вибірковим центральним моментом порядку k називається величина

.

Вибірковий момент першого порядку найчастіше називають вибірковим (емпіричним) середнім і позначають

.

Реалізацію вибіркового середнього будемо позначати . Якщо є варіантами дискретного варіаційного ряду, – відповідні їм частоти, то вибіркове середнє обчислюється так:

. (28.1)

У випадку інтервального варіаційного ряду за значення беруть середини інтервалів варіаційного ряду. Очевидно, що в цьому випадку , де – відповідні частості варіантів або інтервалів.

Вибірковий центральний момент другого порядку називають вибірковою (емпіричною) дисперсією та позначають

.

Зауважимо, що вибіркову дисперсію можна записати так:

. (28.2)

Доведення. Дійсно

.

Реалізацію вибіркової дисперсії позначимо . Якщо є варіантами дискретного варіаційного ряду, – відповідні їм частоти, то вибіркова дисперсія обчислюється так:

.

У випадку інтервального варіаційного ряду за значення беруть також середини інтервалів варіаційного ряду. Очевидно, що , де – відповідні частості варіантів або інтервалів.

Формула (28.2) для реалізації вибіркової дисперсії набуває вигляду

. (28.3)

Якщо математичне сподівання випадкової величини відомо, то природно, що за вибіркову дисперсію беруть величину

.

Крім вибіркової дисперсії розглядають також вибіркове середнє квадратичне або стандартне відхилення .

Розглянуті вище статистики називають аналітичними. У математичній статистиці застосовують також порядкові статистики. До таких статистик належать емпірична мода, емпірична медіана, емпіричний коефіцієнт асиметрії та ексцес.

Емпіричною (вибірковою) модою називається варіанта, якій відповідає найбільша частість. Особливість моди в тому, що вона не змінюється при зміні крайніх членів ряду, тобто має певну стійкість до варіації.

Отже, для дискретного статистичного ряду

, якщо ,

а для інтервального статистичного ряду

, (28.4)

де – початок інтервалу з найбільшою частотою, – частота -го інтервалу.

Емпіричною (вибірковою) медіаною називають середню за розташуванням варіанту дискретного варіаційного ряду, якщо кількість варіант – непарна, і середнім арифметичним двох середніх за розташуванням варіант, якщо кількість варіант – парна. Тобто реалізацію медіани обчислюють так:

Для інтервальних статистичних рядів

, (28.5)

де – початок медіанного інтервалу, тобто такого, якому відповідає перша з частот, що перевищує половину всіх спостережень, – довжина інтервалу, – частота медіанного інтервалу.

Приклад 28.1. Обчислити реалізації вибіркового середнього, вибіркової дисперсії, емпіричну моду та медіану за інтервальним статистичним рядом

Таблиця 28.1.

Інтер.

Розв’язання. Реалізацію вибіркового середнього для інтервального статистичного ряду обчислюємо за формулою (28.1)

.

Реалізацію вибіркової дисперсії знайдемо за формулою (28.3)

.

Моду обчислимо за формулою (28.4)

.

Відповідно медіану за формулою (28.5)

.

Емпіричним (вибірковим) коефіцієнтом асиметрії називають статистику , а емпіричним (вибірковим) ексцесом – .