Общая характеристика переходных процессов

В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник.
При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося значения к другому.
Изменения токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи - емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации

iL (0+) = iL (0-),

где iL (0+) - ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак "+" в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации;
iL (0-) - ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации.

uC (0+) = uC (0-),

где uC (0+) - напряжение на емкости в момент коммутации;
uC (0-) - напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов.

1. Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время.

2. Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги.

3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов.

.

где iпр(t) - принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону;
iсв(t) - свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

Свободный ток определяют по формуле:

.

Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме.
P1, P2 - корни характеристического уравнения.
А1, А2 - постоянные интегрирования, определяются с помощью начальных условий.
Начальные условия - это переходные токи и напряжения в момент коммутации, в момент времени t, равный нулю.
Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми.
Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Это напряжение на емкости uc(0) и ток в ветви с индуктивностью iL(0) в момент коммутации.
Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением uR(0) и iR(0), напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью iC(0) - это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.



8.2. Переходные процессы в цепях
с одним реактивным элементом

 

Короткое замыкание в R-L цепи

На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.

До коммутации по индуктивности протекал ток


Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке.

Рис. 8.1

Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации.
В соответствии с классическим методом

Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую

Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы.
Запишем уравнение для свободного тока в R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.

(8.1)

Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты

.

Производная

.

Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)

(8.2)

Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.

- корень характеристического уравнения.

- постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах.
Постоянная времени τ - это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в e раз.

.

Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.

В соответствии с первым законом коммутации,

.

Получим

Напряжение на индуктивности .

На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается.

 

Рис. 8.2


Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС

В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).

.

Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации

.

В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис. 8.1.

Свободный ток определяется по формуле
.
Запишем значение переходного тока для момента
коммутации, (t = 0). ,
откуда .

Рис. 8.3

До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.
Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю.



.

.

.

Напряжение на индуктивности

.

На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.

Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине.
Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.

 

Рис. 8.4


Короткое замыкание в R-C цепи

В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.
До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-) = E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.

В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора.
Запишем для R-C контура уравнение по второму закону Кирхгофа
.

Рис. 8.5

Ток через конденсатор .

Получим дифференциальное уравнение

. (8.3)

Решение этого уравнения .

Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения

в уравнение (8.3).

.

Уравнение называется характеристическим.

- корень характеристического уравнения;

- постоянная времени переходного процесса;

Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).

 


Рис. 8.6

 

Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС

Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0.
В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).
Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания ucпр= E.

Переходное напряжение

.

В момент коммутации .

Постоянная интегрирования .

В соответствии со вторым законом коммутации

. .
Рис. 8.7

Переходное напряжение

.

Переходный ток

.

Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8.

 

Рис. 8.8

8.3. Переходные процессы в цепях
с двумя реактивными элементами

При последовательном соединении сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора С образуется электрический R-L-C контур (рис. 8.9).
Дифференциальное уравнение для тока в контуре

.

После дифференцирования по t и деления на L получим

. (8.4)

Решение уравнения (8.4) равно сумме принужденной и свободной составляющих
.
В нашем случае принужденная составляющая переходного тока равна нулю, так как в схеме имеется емкость, являющаяся разрывом цепи для постоянного тока.
Рис. 8.9

Свободная составляющая является общим решением уравнения

. (8.5)

Пусть , , .

После подстановки этих выражений в уравнение (8.5) получим характеристическое уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет два корня

,

где - коэффициент затухания;

- угловая резонансная частота контура без потерь.

Получим

.

Вид корней зависит от отношения

,

где - характеристическое или волновое сопротивление контура;

- добротность контура.

 

Колебательный режим

Наиболее важен часто встречающийся случай, когда корни P1,2 - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, свободная составляющая имеет вид затухающих колебаний. В этом случае

, , , ,

где - угловая частота собственных колебаний в контуре;

- период собственных колебаний.

 

Ток в цепи

, (8.6)

где А и φ - постоянные интегрирования.

До коммутации ток в индуктивности равен нулю, сразу после коммутации остается равным нулю

.

Чтобы определить две постоянные интегрирования, необходимо иметь два начальных условия и составить два уравнения. Напряжение на индуктивности

. (8.7)

где - напряжение на индуктивности в момент коммутации, является зависимым начальным условием. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для момента коммутации, чтобы определить зависимое начальное условие .

.

До коммутации конденсатор был не заряжен, поэтому

.

Подставляя в (8.6) и (8.7) t = 0 и используя независимое и зависимое начальные условия, получим систему уравнений

(8.8)

Решив систему (8.8), определим

.

На рис. 8.10 приведена кривая изменения тока в контуре при подключении к нему источника постоянной ЭДС. Из рисунка видно, что колебания в контуре затухают по показательному закону из-за потерь электрической энергии в сопротивлении R. Затухание происходит тем медленнее, чем меньше коэффициент затухания α .

 

Рис. 8.10

Постоянная времени переходного процесса .

При малом коэффициенте затухания величина ωС незначительно отличается от резонансной частоты ω0.
Относительное затухание колебаний характеризуется декрементом затухания, представляющим отношение мгновенных значений тока через один период.

.

Натуральный логарифм этого оператора носит название логарифмического декремента затухания

.

Для контура с небольшим затуханием, когда

Апериодический режим в R-L-C контуре наблюдается при большом затухании, когда . В этом случае корни P1,2 вещественные, отрицательные, различные.

Свободный ток определяется по формуле

. (8.9)

Напряжение на индуктивности

. (8.10)

Подставив в уравнение (8.9) и (8.10) t = 0 и используя независимое и зависимое условия, получим систему уравнений

Решив эту систему, определим постоянные интегрирования

.

Выражение для тока в контуре

состоит из положительной, медленно затухающей экспоненты с коэффициентом затухания P1 и отрицательной, быстро затухающей экспоненты P2 (рис. 8.11).

Ток получается неколебательным, он не принимает отрицательных значений, то есть не меняет своего направления.
На границе между колебательным и апериодическим режимом при

наблюдается предельный случай апериодического процесса.


Рис. 8.11

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Расчет трехфазной цепи, соединенной звездой | Методологические основы научных исследований.


Дата добавления: 2017-04-20; просмотров: 32; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2017 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.099 сек.