Приклади статично невизначених систем

Для розв’язку статично невизначених задач потрібні додаткові рівняння ,окрім рівнянь статики. Такими рівняннями є рівняння переміщень, тобто рівняння, що встановлюють зв’язок між переміщеннями в системі . Їх називають рівняннями сумісності деформації і одержують їх з розгляду переміщень і деформації в заданій конструкції. Найбільш загальним методом вирішення статично невизначених задач (або розкриття статичної невизначеності) є метод сил.

Його сутність у наступному : задану статично невизначену систему перетворюємо у статично визначену, усуваючи зайві зв’язки, а їх дії заміняємо відповідно реакціями. Значення цих реакцій визначаємо так, щоб ця система деформувалася так як задана статично невизначена система. І оскільки невідомими тут виявляться сили, звідси і назва – метод сил.

Отже порядок розрахунку за методом сил полягає у наступному:

1. Відкидаємо зайві зв’язки, перетворюючи задану статично невизначену систему у статично визначену і геометрично незмінну. Знявши і зовнішнє навантаження, маємо основну систему.

2) Основна система, що навантажена заданим зовнішнім навантаженням та реакціями усунутих зв’язків які треба визначити, має бути еквівалентна заданій системі (тобто напруження та деформації мають бути однаковими). Умовою еквівалентності навантаженої основної системи і заданої системи буде рівність нулю переміщення точки у тому місці де був відкинутий зайвий зв'язок по його напрямку, тобто:

Для n – разів статично-невизначеної системи:

Δ₁ = Δ₂ = … = Δ_n = 0

Таких рівнянь можна скласти стільки, скільки зайвих зв’язків має система. Виходячи з принципу незалежності дії сил кожне таке рівняння можна записати у вигляді:

Δ₁ = Δ₁₁ + Δ₁₂ + … + Δ_1n + Δ_1p = 0

Δ₂ = Δ₂₁ + Δ₂₂ + … + Δ_2n + Δ_2p = 0

Де перший індекс – напрямок переміщення, а другий – це сила, яка викликає це переміщення. Тобто певні переміщення Δ_i ; i = 1,2 … подаються у вигляді суми переміщень, які викликаються окремо кожної з невідомих сил Х₁, Х₂, .. Х_n та заданого навантаження Р.

Так як переміщення пропорційні навантаженню (система лінійно деформована) то можна записати:

Де Х₁, Х₂, .. Х_n - невідомі реакції, δ_11,…δ_n – питоме переміщення точки 1 від одиничних сил Х₁ = 1, Х_n = 1; δ_12,…δ_1n – питоме переміщення точки 1 від сил Х₂ = 1, Х_n = 1.

Тоді для будь-якої кількості невідомих можна записати систему рівнянь:

Тоді система рівнянь може бути записана у вигляді:

Ці рівняння називають канонічними рівняннями метода сил. Питомі переміщення δ_ij та переміщення Δ_iP визначають за методом Мора або способом Верещагіна. Кожне рівняння вказує на те, що сумарне переміщення за напрямком відкинутого зв’язка, викликане зовнішнім навантаженням та реакціями відкинутих зв’язків, дорівнює нулю

Відмітимо що:

δ₁₂ = δ₂₁ δ_1n = δ_n1 δ_ij = δ_ji

Питомі переміщення, що мають однакові індекси називаються головними коефіцієнтами канонічних рівнянь, вони завжди додатні ( >0 )

Питомі переміщення δ_ij , i≠j називаються побічними коефіцієнтами.

Наприклад при згині:

При розтягу-стиску:

При крученні:

.

Оскільки величини та є переміщеннями, відповідно - одиничні переміщення від Х_i=1; і - переміщення від зовнішнього навантаження, для їх визначення зручно використовувати спосіб Верещагіна.

Приводимо тут формули Верещагіна для визначення переміщень, відповідно:

при розтягу-стиску (перемножуються епюри поздовжніх сил)

, (8-2)

де N_P – поздовжня сила від заданого навантаження;

- поздовжня сила від X_i=1;

при крученні (перемножуються епюри крутних моментів)

, (8-3)

де - жорсткість при крученні;

при згинанні (перемножуються епюри згинальних моментів)

, (8-4)

де EI_Z – жорсткість при згинанні.

Відмітимо, що і т.д.

Оскільки ми обмежуємося розкриттям статичної невизначеності найпростіших систем, приводимо систему канонічних рівнянь для два рази статично невизначеної конструкції:

(8-5)

і канонічне рівняння для один раз статично невизначеної конструкції:

. (8-6)