Основні гіпотези науки про опір матеріалів

1. Гіпотеза про суцільність матеріалу. Припускається, що матеріал суцільно заповнює форму тіла.

2. Гіпотеза про однорідність та ізотропність. Матеріал вважається однорідним та ізотропним, тобто в будь-якому об'ємі та в будь-якому напрямі властивості матеріалу вважаються однаковими.

3. Гіпотеза про малість деформації. Припускається, що деформації малі порівняно з розмірами тіла.

4. Гіпотеза про ідеальну пружність матеріалу. Припускається, що всі тіла абсолютно пружні.

Зовнішні і внутрішні сили. Метод перерізів.

Зовнішніми силами називають сили взаємодії між розглядаємим елементом конструкції та пов'язаними з ним тілом.

Зосереджена сила

2.

Рівномірно розподілене навантаження

Рівнодійна розподіленого навантаження чисельно рівна площі його епюри і прикладена в центрі її ваги.

3. Зосереджений момент

[Мкр]= кН •т

Бувають навантаження, які не є наслідком контакту двох тіл наприклад сила інерції, власна вага. Ці сили прикладені в кожній точці об'єму, які займає тіло і тому називаються об'ємними або масовими.

Внутрішні сили

Між сусідніми частинами тіла завжди є певні сили взаємодії, тобто внутрішні сили, які в усіх випадках намагаються зберегти тіло як єдине ціле, протидіють зовнішнім силам, що прикладені до тіла. Внутрішні сили часто називають зусиллям. Для виявлення внутрішніх сил в опорі матеріалів широко застосовують метод перерізів.

Розглянемо довільне тіло

Проведемо переріз

Внутрішні сили можна звести до однієї точки (як правило це центр ваги перерізу), внаслідок чого маємо головний вектор та головний момент внутрішніх сил

Якщо головний вектор та головний момент М спроекціювати на осі то на кожному боці маємо шість внутрішніх силових факторів:

три сили та три моменти . Ці

величини називають внутрішніми зусиллями стержня в перерізі стержня.

Зусилля N спричиняє поздовжню деформацію стержня

(розтягання або стискання) і зветься поздовжня сила.

та спричиняє зсув боків перерізу відповідно в напрямку

осей та у, вони звуться поперечні сили або перерізуючи сили.

спричинює кручення перерізу зветься крутний момент

спричинюють згин, звуться згинальні моменти

Напруження в перерізі

Розглянемо нескінченно малий елемент площі Унаслідок малості елемента можна вважати, що внутрішні зусилля, які діють в його різних точках, однакові за модулем та напрямом. Тоді їхня рівнодійна буде проходити через центр ваги елемента ', координати якого та .

Отже, зводячи все до центра ваги елемента

, матимемо головний вектор та

головний момент , що дорівнює 0

, т.к. центр ваги тоді:

- нормальне напруження

- дотичні напруження
Напруження виміряють у Па

Отже, напруженням називається внутрішня сила віднесена до одиниці площі в даній точці

Повне напруження:

, тобто значення повного зусилля, яке припадає на одиницю площі.

Очевидно:

Статичні рівняння та інтегральні рівняння рівноваги

-відстань від центра ваги перерізу до лінії дій

ЛЕКЦІЯ №

Геометричні характеристики плоских перерізів

Опір стержня різним видам навантаження, тобто його міцність залежить не тільки від матеріалу та розмірів стержня, а й від форми поперечного перерізу та розташування, тобто від геометричних характеристик перерізу.

Геометричні характеристики - це площа, статичний момент площі, момент інерції, радіус інерції, момент опору.

Розглянемо методи їх визначення:

1. Статичний момент площі. Координати центра ваги.

Розглянемо довільну фігуру (поперечний переріз стержня). Добуток елемента площі на відстань у від осі називається статичним моментом елемента площі відносно осі . Аналогічно для осі

- це статичні моменти елемента площі відносно осей - це та - це

Статичний момент площі відносно осі - це сума добутків площ нескінченно малих площадок на їх відстань до цієї осі

Статичний момент може бути , , та . Осі, що проходять через центр ваги і відносно яких , звуться центральними

Якщо С - центр ваги перерізу, то на підставі теореми про момент рівнодійної системи сил (теорема Вариньона):

-де та с координати центра ваги, звідси

Для складної фігури:

- тут - площі елементарних фігур, на які розбивається складний переріз. , - координати центрів ваги елементів (простих фігур), беруться з урахуванням знаків.

Координати центра ваги складного перерізу:

Якщо у складного перерізу є отвори, то вони додаються з від'ємною площею.

2. Моменти інерції плоских перерізів.

Осьовим моментом інерції площі фігури називають інтеграл добутків елементарних площ на квадрати їх відстаней до розглядаємої осі.

Полярний момент інерції:

Якщо

- завжди (лише додатний знак).

Відцентрований момент інерції - це інтеграл

він може бути , , та Осі відносно яких

звуться головними осями інерції.

Дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча б одна є віссю симетрії фігури, завжди будуть її головними осями інерції. Головні осі, що проходять через центр ваги перерізу, називають головними центральними осями. Осьові моменти інерції відносно головних центральних осей екстремальні, тобто один з них максимальний, інший - мінімальний.

Моменти інерції відносно осей, які паралельні

центральним.

Нехай відомі моменти інерції фігури відносно центральних осей та

Визначим момент інерції відносно осей які паралельні центральним, тобто

Координати довільної точки в системі будуть дорівнювати:

Підставимо та у формулу для визначення моментів інерції і проінтегруємо почлено:

так як статичний момент площі

відносно центральної осі Z.

Тоді,

Аналогічно:

Відстані а та у цих формулах слід підставляти з урахуванням їх знаків.

Визначення моментів інерції

1. Прямокутник.

Момент інерції

Площа елементарної частинки

Аналогічно:

Момент інерції відносно центральних осей знаходимо по формулам паралельного переносу;

А налогічно:

2. Трикутники.

Момент інерції відносно осі що проходить через основу :

Площа елементарної площадки :

Із подібності трикутника

Проінтегруємо :

Моменти інерції відносно осей, які проходять через центр ваги трикутника знайдемо за формулами паралельного переносу