Перевод чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.

Вспомним, что любое число в любой системе счисления можно представить в развернутом виде: a₄*p⁴ + a₃*p³ + a₂*p² + a₁*p¹ + a₀*p⁰, где a₄a₃a₂a₁a₀_p является числом с основанием p.

Перевод осуществляется по следующему правилу:

· исходное число запишем в развернутой форме, используя цифры десятичной системы.

· сложим развернутую запись числа, используя правила десятичной системы счисления.

Примеры:

110010₂ представить в десятичной форме. on_load_lecture()

Здесь в числе 6 цифр, где p = 2, a₅= 1, a₄= 1, a₃= 0, a₂=0, a₁= 1, a₀= 0, поэтому

110010₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ =

= 1*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 =

= 32 + 16 + 2 =

= 50₁₀ .

Ответ: 110010₂ = 50₁₀ .

461₈ представить в десятичной форме.

461₈ = 4*8² + 6*8¹ +1*2⁰ =

= 4*64 + 6*8 + 1*1 =

= 256 + 48 + 1 =

= 305₁₀ .

Арифметические действия.

При работе на ЭВМ программисту приходится работать в различных системах счисления (Табл.2.1). Поэтому рассмотрим правила арифметических действий для указанных выше систем счисления.

Сложение.

Таблица 2.1.Числав некоторых системах счисления

Действие	Результат добавления 1 в системах счисления:
Двоичная	Шестнадцате-ричная	Десятичная
0+0
0+1
0+1+1
0+1+1+1
0+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1		A
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1		B
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1		C
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1		D
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1		E
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1		F
0+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Вспомним, как складываются два числа в десятичной системе приемом «в столбик», предположим для чисел 56 и 49.

Порядок сложения:

1. Складываем цифры младших разрядов (единицы), т.е. 6 и 9. Получаем 15.

2. Цифру 5 пишем в колонку для единиц, т.е. под цифрами 6 и 9, а 1 переносим в колонку слева для десятков.

3. Теперь в колонке для десятков складываются: 5, 4 и перенесенная 1. Получаем 10.

4. 0 пишем в колонку десятков, а 1 переносим влево в колонку сотен.

Теперь применим те же правила для шестнадцатеричных чисел, предположим для чисел 5B и A9

1. Складываем цифры младших разрядов, т.е. B и 9. Получаем 14₁₆.

2. Цифру 4 пишем в колонку под цифрами B и 9, а 1 переносим в колонку слева.

3. Теперь складываем цифры в колонке слева, т.е.: 5, A и перенесенная 1. Получаем 10₁₆.

4. 0 пишем в колонку под цифрами 5 и A, а 1 переносим в колонку слева.

Получаем 5B₁₆ + A9₁₆ = 104₁₆.

Проверим правильность сложения, преобразовав 5B₁₆ , A9₁₆ и 104₁₆ в десятичные.

5B₁₆ = 5*16 + 11 = 80 + 11 = 91

A9₁₆ = 10*16 + 9 = 160 + 9 = 169

104₁₆ = 1*16² + 0*16 + 4 = 256 + 0 + 4 = 260

91 + 169 = 260

260 = 260

Теперь применим те же правила для двоичных чисел, предположим для чисел 110₂ и 111₂

110₂

111₂

1. Складываем цифры младших разрядов, т.е. 0 и 1. Получаем 1 (0 + 1 = 1).

2. Цифру 1 пишем в колонку под цифрами 0 и 1.

110₂

111₂

1₂

3. Складываем цифры в колонке левее, т.е. 1 и 1. Получаем 10₂.

(1 + 1 = 10).

4. 0 пишем в колонку под цифрами 1 и 1, а 1 переносим в колонку слева.

10₂

11₂

101₂

6. Теперь складываем цифры в колонке слева, т.е.: 1, 1 и перенесенная 1. Получаем 11₂. (1 + 1 + 1 = 11₂).

7. Цифру 1 пишем в колонку под цифрами 1 и 1, а 1 переносим в колонку слева.

110₂

111₂

1101₂

Получаем 110₂ + 111₂ = 1101₂.

Проверим правильность сложения, преобразовав 110₂ , 111₂ и 1101₂ в десятичные.

110₂ = 1*2² + 1*2 + 0 = 4 + 2 + 0 = 6

111₂ = 1*2² + 1*2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

1101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

6 + 7 = 13

13 = 13

Вычитание.

Давайте вспомним еще раз, как располагаются разряды в позиционных системах счисления.

· Слева расположен самый старший, а справа - самый младший разряд.

· При переносе цифры вправо в соседний разряд, к цифре справа добавляется 0 (Рис. 2.3.).

Вычтем из 56 число 49 в десятичной системе приемом «в столбик».

Порядок вычитания:

1. Рассмотрим цифры младших разрядов (единицы), т.е. 6 и 9.

2. Если из большей цифры вычитаем меньшую цифру, то пишем разность в младшем разряде (единицы).

3. Если из меньшей цифры вычитаем большую цифру, то из соседнего слева разряда вычитаем 1 и переносим ее вправо, приписывая к ней справа 0. Полученное число 10 прибавляем к меньшей цифре и делаем вычитание. У нас 6 меньше 9 (6 < 9).

4. Вычитаем из цифры левого разряда единицу. 5 – 1 = 4. (Запомним, что вместо 5 у нас стало 4).

5. Перенесем вычтенную единицу вправо и припишем справа 0. Получаем 10.

6. К 6 прибавляем 10. 6 + 10 = 16.

7. Вычтем из 16 цифру 9. 16 – 9 = 7.

8. Запишем полученную 7 в младшем разряде (единицы) разности.

(1) 10