Промежутки монотонности функции

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f¤(x), а именно, если в некотором промежутке f¤(x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f¤(x) < 0, то функция убывает в этом промежутке.

Отыскание промежутков монотонности функции y = f(x) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее первой производной f¤(x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f¤(x).

2. Определить методом проб знак f¤(x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = - х2 + 10х + 7

Решение:

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f¤(x). y¢ = -2х +10

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

-2х +10 = 0

-2х = -10

х =5

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,

на промежутке[5 ,+ ∞) y¢ < 0

Следовательно на промежутке (– ∞,5] функция возрастает, а на промежутке [5 ,+ ∞) функция убывает.

 

Экстремум функции

Точка х= х0 называется точкой максимума, функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х этой окрестности, кроме х0 выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Точка х= х0 называется точкой минимума, функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х этой окрестности, кроме х0 выполняется неравенство f(x) > f(x0)..

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.

Точка экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f¤(x) = 0 или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:

Если при переходе через критическую точку x0 в положительном направлении f¤(x) меняет знак с + на - , то точка x0 есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x0 в положительном направлении f¤(x) меняет знак с - на + , то точка x0 есть точка минимума.

Пример:

Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.

У = х3 –6х2 + 9х

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f¤(x). y¢ = 3 х2 –12х +9

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

3 х2 –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения

y¢ обращается в 0 при х1 = 1, х2 = 3,

Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:

(– ∞,1), [1,3] И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,1] y¢ > 0,

на промежутке [1,3] y¢ < 0

на [3 ,+ ∞) y¢ > 0,

Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3 ,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.

Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.

Найдем значения умах и умin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1

умin=27-54+27=0

умах=1-6+9=4

 








Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 13388;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.