Из рисунка видно, что

где a_k_-_i – дирекционный угол стороны сети с пункта k на пункт i;

M_k_-_i – измеренное направление k-i;

z_k – дирекционный угол начального направления.

Введем обозначения уравненных значений a_k_-_i, M_k_-_i и z_k.

где a’_k_-_i и d a_k_-_i – приближенное значение дирекционного угла стороны сети триангуляции k-i и поправка к нему;

M’_k_-_i и v_k_-_i – измеренное значение направления k-i и поправка к нему;

z_k и d z_k – приближенное значение ориентирного угла z_k и поправка к нему.

Следовательно, для произвольного направления (т.е. для стороны k-i) можем записать уравнение в виде:

a*_k-i = z*_k + M*_k-i

или

a’_k-i +d a_k-i = z’_k + d z_k + M_k-i + v_k-i

или

– d z_k +d a_k-i +{(a’_k-i – M’_k-i) – z’_k } = v_k-i.

Обозначим l_k-i = (a’_k-i – M’_k-i) – z’_k = z’_k-i – z’_k,

где z’_k_-_i = a’_k_-_i – M’_k_-_i – приближенное значение ориентирного угла стороны k-i.

Тогда уравнение поправок для произвольного направления принимает вид:

– d z_k + d a_k-i + l_k-i = v_k-i

На наблюдательном пункте k будем иметь систему уравнений поправок:

Учитывая зависимость дирекционного угла стороны от координат конечных точек:

после дифференцирования получим уравнение:

или с учетом ранее принятых обозначений:

Таким образом, на станции будем иметь систему параметрических уравнений поправок:

Т.е. кроме необходимых неизвестных координат определяемых точек при уравнивании триангуляции по направлениям будем иметь еще неизвестные ориентирные углы. Для их исключения используется теория эквивалентных уравнений.

Первое положение (первое правило Шрейбера).

Система т уравнений погрешностей с r+1 неизвестными:

может быть заменена системой т + 1 уравнений погрешностей с r неизвестными:

Обязательное условие – при одном из неизвестных (dz) во всех т уравнениях постоянный коэффициент (в нашем случае –1). Составим систему нормальных уравнений по исходной системе уравнений поправок:

После исключения неизвестного dz переходим к системе:

Если составить нормальные уравнения по второй системе, то они будут тождественны полученным, т.е. 1-я и 2-я системы параметрических уравнений поправок эквивалентны.

Второе положение (второе правило Шрейбера).

Система т уравнений погрешностей, отличающихся между собой только свободными членами и весами

a d_x + b d_y + … + l₁ = v₁ с весом р₁

a d_x + b d_y + … + l₂ = v₂ с весом р₂

.............................................................

a d_x + b d_y + … + l_т = v_т с весом р_т

может быть заменена одним уравнением:

с весом [p].