Законы Ома и Кирхгофа в символической форме

В символической форме можно представить не только отдель­ные синусоидальные функции времени, но и уравнения, содержа­щие такие функций. Рассмотрим последовательную цепь с R, L, С. Мгновенные значения напряжения и тока для такой цепи связаны, на основании второго закона Кирхгофа, уравнением:

4.7

Пусть мгновенное значение тока в цепи определяется выраже­нием

Тогда

Полученным выражением соответствуют комплексные функции времени:

Здесь

Напряжение на зажимах цепи является также синусоидальной функцией времени , которой соответ­ствует комплексная функция

В соответствии с равенствам 4.5 мгновенные значения напряже­ний уравнения 4.7 представляют собой мнимые части соответствую­щих комплексных функций, взятые без множителя j:

Поэтому

+ +

В данном случае при равенстве мнимых частей будут равны и действительные части комплексов напряжений, а следовательно равны и комплексные числа

4.8

Разделим левую и правую части уравнения 4.8 на оператор вра­щения и на , получим:

4.9

Сравнивая уравнения 4.7 и 4.9, можно сделать выводы:

а) для перехода от интегро-дифференциального уравнения к изображению в комплексной форме необходимо все мгновенные значения напряжений и токов заменить их комплексами; диффе­ренцирование оригинала заменить умножением изображения на , а интегрирование оригинала—делением изображения на

б) интетро-дифференциальному (или тригонометрическому) уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений.

Таким образом, применение символического метода приводит к алгебраизации интегро-дифференциальных и тригонометрических уравнений, что позволяет применять для расчета цепей синусои­дального тока все соотношения и законы цепей постоянного тока.

Из уравнения 4.9

4.10

Полученное выражение представляет закон Ома в символиче­ской форме.

Величина, стоящая в знаменателе, называется комплексом пол­ного сопротивления Z.

Комплекс полного сопротивления (или комплексное сопротивле­ние) представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активному, а мнимая часть—реактивному сопро­тивлениям цепи.

4.12

Модуль комплекса полного сопротивления равен полному сопро­тивлению цепи

4.13

В выражении для комплекса полного сопротивления цепи

знак плюс перед мнимой частью ставится при индуктивном характере сопротивления ( > 0 ) и знак минус—при емкостном характере сопротивления ( <0).

При расчетах разветвленных цепей часто применяют комплек­сные проводимости, величины обратные комплексным сопротивле­ниям.

Комплекс полной проводимости равен:

4.14

В тригонометрической и алгебраической формах комплекс полной проводимости имеет вид:

4.15

Модуль комплекса полной проводимости есть полная проводи­мость цепи, равная

4.16

Действительная часть этого комплекса есть активная проводи­мость, а мнимая часть—реактивная проводимость.

Знак минус в выражении 4.15 перед мнимой частью ставится при индуктивном характере цепи ( >0), а знак плюс—при емкост­ном характере ( <0).

При изображении синусоидальных электрических величин в ком­плексной (символической) форме законы Кирхгофа имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока. Например, по первому закону Кирхгофа’ алгебраическая сумма комплексов токов, сходя­щихся в узле А (рис. 104), равна нулю, т.е. = 0 или в общем виде

4.17

По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура электри­ческой цепи алгебраическая сумма комплексов э.д.с. действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексов падений, на­пряжений на отдельных участках этого контура. Так, для контура abed по второму закону Кирхгофа уравнение имеет вид:

или , где

В общем виде уравнение по второму закону Кирхгофа записы­вается следующим образом:

или

Пример 31. Определить ток в цепи если, активное сопротивление R = 80om,индуктивность L=90

мгн и конденсатор С = 35,5мкф, соединенные последовательно, включены в сеть с напряжением 220в и частотой 50гц.

Решение: Индуктивное сопротивление

Емкостное сопротивление

Комплекс полного сопротивления цепи

Комплекс тока в цепи по закону Ома

Действующее значение тока I =2,2 а. Так как начальная фаза на­пряжения, принята равной нулю( ) , то ток опережает напряжение на угол 36°50' ( — 36°50') , т.е. угол сдвига фаз

(характер цепи—емкостный).

Пример 32. Катушка с активным сопротивлением R= 10 ом и ин­дуктивностью L=95 мгн соединена параллельно с конденсатором емкостью С — 31,5 .мкф. Определить ток в цени , если напряжение сети 220 в, частота 50 гц.

Решение. Индуктивное сопротивление

Емкостное сопротивление

Комплекс полного сопротивления цепи

Рис. 106

Полная комплексная проводимость катушки

Комплексная проводимость конденсатора

Полная комплексная проводимость всей цепи:

Ток в цепи (комплекс тока)

Характер сопротивления цепи активно-индуктивный, так как