Метод Бубнова - Галеркина.

Рассмотрим порядок действий для нахождения собственной частоты поперечных колебаний балки.

Записывается уравнение поперечных колебаний непризматической балки

. (5.56)

Его решение представляется в виде произведения двух функций . Это позволяет свести дифференциальное уравнение в частных производных (5.56) к обыкновенному дифференциальному уравнению

. (5.57)

Решение уравнения (5.57) представляется в виде разложения в ряд по базисным функциям , которые удовлетворяют условиям закрепления балки (кинематические и силовые граничные условия)

.

Это решение подставляют в уравнение (5.57), затем умножают полученное уравнение на произвольную базисную функцию , после чего интегрируют. Повторяя эту процедуру для каждой базисной функции, приходят к алгебраической системе уравнений вида

(5.58)

Уравнения этой системы говорят о равенстве нулю возможной работы, совершаемой упругими силами и силами инерции на перемещениях . Системе уравнений является однородной относительно неизвестных коэффициентов , поэтому для отыскания нетривиального решения определитель матрицы этой системы необходимо приравнять к нулю. Полученное таким путем уравнение будет содержать одну неизвестную величину – частоту свободных колебаний , которая может быть найдена из этого уравнения.

Этот метод широко применяется при проведении практических расчетов. Он позволяет найти не только собственную частоту колебаний, но и приближенное выражение для формы собственных колебаний, соответствующей этой частоте. Для этого достаточно найденное значение частоты собственных колебаний подставить в систему уравнений (5.58) и разрешить ее относительно неизвестных коэффициентов ; при этом форма собственных колебаний будет найдена с точностью до постоянного множителя, например .

Замечание. Если базисные функции , используемые для расчета ортогональны, то процедура вычислений значительно упрощается. Это справедливо и для метода Ритца.

Пример 8.Шарнирно закрепленная балка переменного сечения, изображенная на рис.5.15, имеет по длине переменную изгибную жесткость

и погонную массу

Рис.5.15

Определить методом Бубнова-Галеркина основную собственную частоту колебаний при одночленном приближении.

Решение:

Уравнение свободных колебаний балки переменного сечения записывается в виде:

(5.59)

Решение представим в виде:

. (5.60)

При данном выборе функция удовлетворяет краевым условиям:

; ; ; .

После подстановки решения (5.60) в дифференциальное уравнение (5.59) умножим его на функцию и проинтегрируем по переменной от до . В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции

Для определения неизвестной функции получим дифференциальное уравнение

.

После интегрирования находим

.

Коэффициент при втором слагаемом в этом уравнении равен квадрату основной частоты собственных колебаний

.