Арифметические операции над нечеткими интервалами

В обобщенном виде:

S1*S2=(U₁*U₂ / U₁ S₁, U₂ S₂, *:={ ^. , +, -, /})

Сложение:

μ_St=μ_S, где S={ Ŝ_t , Š_t , ( l _t^-1)^-1 , ( r _t^-1)^-1}

если t , такое что l _t=1 то ( l _t^-1)^-1=1 и аналогично

t , такое что r _t=1 то ( r _t^-1)^-1=1

для линейных интервалов:

S={ Ŝ_t , Š_t , α_t , β_t }

Вычитание:

μ_S= μ_S1 - μ_S2 , здесь

S_н={Ŝ₁-Š₂; Š₁-Ŝ₂; (l ₁^-1- r ₂^-1)^-1; (r ₁^-1- l ₂^-1)^-1}

S_н – нелинейное

В случае линейных интервалов

S_л={Ŝ₁-Š₂; Š₁-Ŝ₂; α₁+β₂; β₁+α₂}

Умножение:

μ_S= μ_St , где

S_н={ Ŝ_t; Š_t; ( l _t^-1)^-1; ( r _t^-1)^-1}

S_л={ Ŝ_t; Š_t; α_t ; β_t }

Деление:

μ_S= μ_S1 / μ_S2 , где

S_н={Ŝ₁/Š₂; Š₁/Ŝ₂; (l ₁^-1/ r ₂^-1)^-1; (r ₁^-1/ l ₂^-1)^-1}

S_л={Ŝ₁/Š₂; Š₁/Ŝ₂; α₁/β₂; β₁/α₂}

Приведенные выше формулы (через обратные функции) позволяют для ряда стандартных функций принадлежности получить точные результаты не прибегая к численным методам решения нелинейных уравнений. При этом в общем случае формулы определены для функций l и r представленных разными выражениями, кроме того нет необходимости в апроксимации левых и правых ветвей функции принадлежности одной монотонно возрастающей функции.

Пример:

S₁={ln 2 +4; 9; e^u-4-1; 1- }

S₂={ln 2 +2; 8; e^u-2-1; -0,25u+3}

l₁=e^u-4-1; l₁^-1=ln(u+1)+4

l₂=e^u-2-1; l₂^-1=ln(u+1)+2

l₁^-1+ l₂^-1=2ln(u+1)+6;

(l₁^-1+ l₂^-1)^-1=(e^u-6)^1/2-1

r₁=1- ; r₁^-1=(1-u)²+9

r₂=-0,25u+3; r₂^-1=4(3-u)

r₁^-1+ r₂^-1=1-2u+u²+9+12-4u=u²-6u+22;

(r₁^-1+ r₂^-1)^-1=3±

Š₁+Š₂=9+8=17; r=3-

u>17 3+ =3+2=5 не может быть так как r меняется от 0 до 1

Ŝ₁+Ŝ₂=ln2+4+ln2+2=2ln2+6

S₁+S₂={2ln2+6; 17; (e^u-6)^1/2-1; 3- }

Пример 2: S₁={Ŝ₁, Š₁, α₁, β₁}={3, 5, 2, 4}

S₂={Ŝ₂, Š₂, α₂, β₂}={10, 11, 4, 2}

l₁=1/2(x-1/2)

r₁=-1/4x+9/4

l₂=1/4x-3/2

r₂=-1/2x+13/2

l₁^-1=2x+1

r₁^-1=-4x+9

l₂^-1=4x+6

r₂^-1=-13-2x

S_– ={ Ŝ₁-Š₂; Š₁-Ŝ₂; (l ₁^-1- r ₂^-1)^-1; (r ₁^-1- l ₂^-1)^-1}={-8; -5; 1/4x+3; 3/8-1/8x}

Коментарии: в литературе показано, что результат сложения и вычитания LR – нечетких чисел есть также нечеткое число (а±в, α_а+α_в, β_а+β_в), в то же время результат умножения и деления может быть получен приближенно ≈(ав, аα_в+вα_а, аβ_в+вβ_а)

≈(а/в, (аβ_в+вα_а)/в², (аα_в+вβ_а)/в²)

Нечеткое число А+(- А)≠0

А^.(1/А) ≠1

Следовательно, вытекает необходимость разработки специальных алгаритмов.

Рассмотрим алгаритм выполнения нечетких операций на основе теоремы о декомпозиции, то есть с использование разложения на α уровневые нечеткие подмножества.

А=αА_α

А_α – четкое подмножество

А_α= {а: m_А(а)≥0}

αА_α :=(α, а)

Доказано следующее утверждение: Для любой непрерывной функции f: R R R высказывание ( α [0,1])[f(A,B)│_α=f(A_α, B_α)] справедливо тогда и только тогда если выполняются следующие условия:

1. если дополнение носителей S_A, S_B компактны

2. функции принадлежности m_А(а), m_В(в) полунепрерывны сверху и должны быть нормальными

При этих условиях:

(А+В)_α=А_α+В_α

(А ^.В)_α=А_α ^.В_α