ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
В пространстве, заполненном движущейся идеальной жидкостью плотностью , выделим элементарный параллелепипед, ребра которого со сторонами
,
,
параллельны осям координат (рис. 3.9). При движении идеальной жидкости отсутствуют силы внутреннего трения. Элементарный объем, находящийся в параллелепипеде, перемещается с абсолютной скоростью
. Составляющие этой скорости по осям координат будут
,
,
.
На элементарный объем будут действовать массовые и поверхностные силы. Силы трения при движении параллелепипеда равны нулю.
Масса жидкости в элементарном объеме параллелепипеда
(3.52)
Рис. 3.9. К выводу уравнения движения Эйлера
Проекции массовых сил в направлении координатных осей:
(3.53)
где ,
,
- компоненты единичных массовых сил относительно осей
,
,
(проекции ускорения этих сил).
Поверхностные силы определяются давлением, приходящимся на грани параллелепипеда.
Пусть в центре тяжести параллелепипеда (т. О) гидростатическое давление равно , координаты этой точки
,
,
. Скорость движения в этой точке
. Составляющие этой скорости по осям координат равны
,
,
.
Проведем через т. О горизонтальную линию, параллельную оси . Точки пересечения с гранями параллелепипеда А (грань 1234), В (грань 5678). Давление в этих точках по оси
и
.
В жидкой сплошной среде давление в точке выражается непрерывной сплошной функцией координат расположения точки в пространстве: . Гидростатическое давление изменяется непрерывно линейно, и приращение давления на единицу элементарной длины
-
-
-
Следовательно, давления в точках А и В будут различаться на величину .
Давления в точках А и В выразим в следующем виде:
(3.54)
Из-за малости площади граней можно считать, что давления и
являются средними гидростатическими давлениями, действующими на грани 1234 и 5678. Поверхностные силы давления на эти грани по оси
равны произведению давления на площади граней:
(3.55)
Аналогично поверхностные силы давления на грани по оси z (грани 1478и 2365):
(3.56)
Также можно определить поверхностные силы на грани по оси .
Рассмотрим равновесие параллелепипеда, находящегося в движущейся жидкости, используя принцип Даламбера.
Согласно принципу Даламбера уравнение движения можно рассматривать как уравнение равновесия, если ввести силы инерции. Полагаем, что параллелепипед массой перемещается со скоростью
, составляющие этой скорости
,
,
.
Сила инерции (
- ускорение).
Проекции силы инерции на соответствующие координатные оси:
(3.57)
где ,
,
- проекции ускорении на оси
,
,
.
Составим уравнение равновесия для сил, действующих на рассматриваемый параллелепипед жидкости, с учетом силы инерции по осям и
:
(3.58)
Подставляя в (3.58) полученные ранее зависимости (3.53), (3.55), (3.56) и (3.57), получим следующие уравнения
Раскрыв скобки и разделив полученные выше уравнения на , напишем
(3.59)
Аналогично можно получить уравнение по оси у:
(3.60)
Уравнения (3.59) и (3.60) можно записать в виде системы уравнений:
(3.61)
В общем случае величины ,
,
являются функцией координат
,
,
, а также времени
. Следовательно, полный дифференциал скорости
будет
(3.62)
Ускорение ;
Тогда
(3.64)
Аналогично можно получить дифференциалы скоростей ,
.
После внесения в систему уравнений (3.61) дифференциалов скоростей ,
и
она примет вид
(3.65)
В случае установившегося движения
;
;
. (3.66)
Уравнения (3.65) представляют собой дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости - уравнения Эйлера. Эти уравнения были получены Эйлером в 1775 г.
Уравнения Эйлера выражают связь между проекциями действующих сил, скоростей, давления и плотности жидкости. Уравнения Эйлера очень важны при изучении движения жидкости.
Для жидкости, находящейся в покое, имеем
Дифференциальные уравнения Эйлера приобретают следующий вид:
(3.67)
Система дифференциальных уравнений является уравнениями равновесия жидкости.
Из уравнения равновесия можно получить основное уравнение гидростатики (2.2) (см. приложение).
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 799;