Лекция 17.ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Теорема.Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения.

Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решения по виду ,а затем метод неопределенных коэффициентов.

Возможны следующие виды :

1. Если многочлен n ‒ й степени.

где ‒ многочлен, той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, илиr= 1, илиr= 2.

Пример.

Решение:

Подставим в исходное уравнение.

2. Если правая часть уравнения , где α ‒ любое число, тогда

, где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, илиr= 1, илиr= 2.

В частном случае , то , где A‒неопределенный коэффициент.

Пример.

Решение:

3. Если , aиb‒ действительные числа.

,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с (если D< 0) и r= 0(если D≥ 0).

Пример.

Решение:

D= 0

Ответ: .