Понятие производной функции
Рассмотрим функцию . На кривой
(рис. 3) возьмем произвольную точку
с абсциссой
. Придадим
приращение
. Новому значению
соответствует точка
кривой. При этом функция получит приращение
.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Отношение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
будет характеризовать ту скорость, с которой меняется функция в точке . Поэтому за мгновенную скорость изменения функции в точке
естественно принять
.
Этот предел и называется производной.
Определение. | Производной функции ![]() ![]() ![]() |
Производная представляет собой скорость изменения функции в точке , т.е. скорость, с которой изменяется функция при переходе через точку. Таков наиболее общий смысл производной.
Геометрический смысл производной.Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке
, т.е. угловому коэффициенту касательной.
В теоретическом плане подчеркнем, что существование предела, которым выражается производная, надо понимать в общем смысле существования предела функции в точке. Это означает, что должен существовать не только при
, но и при
, причём оба предела должны совпадать. В этом требовании и заключается условие существования производной в точке
. С геометрической точки зрения это условие означает независимость предельного положения секущей от выбора точки справа или слева от точки
.
Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой.
Таблица производных
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 746;