Понятие производной функции
Рассмотрим функцию . На кривой (рис. 3) возьмем произвольную точку с абсциссой . Придадим приращение . Новому значению соответствует точка кривой. При этом функция получит приращение
.
Рис. 3 | Отношение показывает, во сколько раз “в среднем” приращение функции больше (или меньше) приращения ее аргумента. Это отношение называют средней скоростью изменения функции на участке . Чем меньше , тем лучше средняя скорость на участке |
будет характеризовать ту скорость, с которой меняется функция в точке . Поэтому за мгновенную скорость изменения функции в точке естественно принять
.
Этот предел и называется производной.
Определение. | Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: . |
Производная представляет собой скорость изменения функции в точке , т.е. скорость, с которой изменяется функция при переходе через точку. Таков наиболее общий смысл производной.
Геометрический смысл производной.Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке , т.е. угловому коэффициенту касательной.
В теоретическом плане подчеркнем, что существование предела, которым выражается производная, надо понимать в общем смысле существования предела функции в точке. Это означает, что должен существовать не только при , но и при , причём оба предела должны совпадать. В этом требовании и заключается условие существования производной в точке . С геометрической точки зрения это условие означает независимость предельного положения секущей от выбора точки справа или слева от точки .
Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой.
Таблица производных
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 721;