Кинетическая энергия. К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я — это энергия движения: она зависит от скорости и массы тела:

К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я — это энергия движения: она зависит от скорости и массы тела:

Е_к = Е_к (υ).

Пусть в состоянии 1 тело покоится в данной системе отсчёта; при этом его скорость равна нулю и в этом состоянии ки­нетическая энергия равна нулю Е_к = 0. Под действием постоянной силы тело движется прямолинейно и равноус­коренно и переходит в состояние 2. При этом его скорость изменяется от нуля до на перемещении (рис. 75). Внешняя сила на перемещении совершает работу

, так как . В состоянии 2 шар получает запас кинетической энер­гии

,

но так как , то

(III.9)

По второму закону Ньютона F = m×a; по формуле кинематики для равноуско­ренного движения

, (υ₀) = 0.

Подставим выражение модуля силы и модуля перемещения в формулу (III.9) и получим формулу кинетической энергии

.

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат скорости тела.

Если движущееся тело совершает ра­боту А, то его кинетическая энергия уменьшается:

ΔЕ_к = - А < 0.

4.3. Законы сохранения и изменения механической энергии

Полная механическая энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергии тела (системы тел), которыми тело (система тел) обладают одновременно:

Е = Е_п + Е_к.

Рассмотрим, как изменяется полная механическая энергия тела массы т при движении по наклонной плоскости высо­той h и длиной ℓ.

Пусть в систему тел входят тело мас­сы т, наклон- ная плоскость (опора) и Земля. При взаимодействии системы тел перемещения Земли и опоры и изменение их скорости очень малы. Значит, измене­ния механичес- кой энергии Земли и опо­ры тоже очень малы и их мож- но не учи­тывать. Внешние силы на систему тел не действуют, следовательно, система изоли­рованная.

С л у ч а й 1. В системе тел нет некон­сервативных сил: нет трения между те­лом и поверхностью опоры (рис. 76).

В начальный момент времени тело на­ходится в состоянии 1:

— на высоте h над уровнем Земли потенциальная энергия тела Е_п (1) = mgh;

— начальная скорость тела равна ну­лю; кинети- ческая энергия тела Е_к(1) = 0.

Полная механическая энергия тела в состоянии 1

E(l) = E_п(l) + E_к(l) = mgh. (III.10)

В конечный момент времени тело находится в состоянии 2:

— на уровне земли потенциальная энергия тела Е_п (2) = 0;

— скорость тела равна ; кинетическая энергия

.

Полная механическая энергия тела в состоянии 2

. (III.11)

Преобразуем формулу (III.1). Из проек­ции уравнения второго закона Ньютона на ось 0Х, которую мы выбираем парал­лельно наклонной плоскости,

(III.12)

следует, что под действием постоянной силы mg тело движется с постоянным ускорением . Из формулы кинематики для равноускоренного движения , где в данном случае модуль переме- щения Δr = ℓ, υ₀ = 0, находим формулу ускорения , которую подстав­ляем в формулу (III.12):

Из последнего равенства следует

(III.13)

Сравнивая формулы (III.10) и (III.13), мы видим, что в данном случае потен­циальная энергия тела переходит в кинетическую энергию, но полная меха­ническая энергия тела не изменяется (сохраняется).

Сформулируем закон сохранения ме­ханической энергии.

Полная механическая энергия изоли- рованной системы тел есть величина посто- янная при отсутствии внутренних некон- серватив­ных сил.

С л у ч а й 2. В системе тел действуют неконсер- вативные силы: между телом и поверхностью опоры есть трение (рис. 77).

В состоянии 1 (на вершине наклонной плоскости) полная механическая энергия тела равна потенциаль- ной энергии

Е(1) = тgh.

В состоянии 2 (на уровне поверхности Земли) полная энергия тела равна кине­тической энергии

.

Найдём выражение Е(2)как функции h и ℓ в этом cлучае.

Подставим кинематическую формулу ускорения в формулу второго закона Ньютона, записанную в скалярном виде в проекции на ось ОХ (рис. 77) - F_тр.

В результате получим Е(2) = = mgh - F_тp× ℓ,

или Е(2) = Е(1)+А_тр. (III.14)

где А_тр. = -F_тp.× ℓ — работа силы трения.

Из формулы (III. 14) видно, что в дан­ном случае полная энергия изолирован­ной системы тел не сохраняется: часть ее расходуется на работу против неконсервативной силы (силы трения).

В том случае, когда система тел не­изолированная, часть ее полной механи­ческой энергии расходуется на работу против внешних сил.

Сформулируем закон изменения пол­ной механической энергии.

Изменение полной механической энер­гии изолированной системы тел равно ра­боте неконсервативных сил (сил трения)

ΔЕ_{изолир.} = А_тр.

Изменение полной механической энер­гии неизолированной системы тел равно работе всех внутренних неконсервативных сил и работе внешних сил:

ΔЕ_{неизолир.} = åА_внеш.+ åА_{внутр. неконс.}

Законы сохранения и изменения меха­нической энергии являются частными случаями фундамен- тального закона при­роды — закона сохранения энергии. Физи­ческие тела могут иметь запас не только механической энергии, но и других видов энергии: тепловой, электрической, ядер­ной. Фундаментальный закон сохранения энергии утверждает, что энергия физических тел не создаётся и не исчезает, она превращается из одного вида в другой или передаётся от одного тела к другому в равных количествах.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Зависит ли кинетическая энергия тела от направле- ния его скорости?

2. Тело движется равномерно. Может ли его кинети- ческая энергия быть больше кинетической энергии тела, которое движется равноускоренно?

3. Выполняется ли закон сохранения или за­кон изменения энергии для тела, брошенного вертикально вверх?

4. Какие виды энергии вы знаете?

Основные формулы механической работы и энергии
Работа постоянной силы Работа силы тяжести А = mg (h2 – h 1)   Работа силы упругости Мощность	Коэффициент полезного действия Полная энергия Е = Еп + Ек Потенциальная энергия: силы тяжести Еп = mgh силы упругости Кинетическая энергия
Закон сохранения энергии (для изолированной системы тел без трени): ΔЕизолир. = 0 Закон изменения энергии: для изолированной системы тел с трением ΔЕизолир. = А тр. для неизолированной системы тел ΔЕнеизолир. = SА внеш. + åАвнутр. неконс.

IV. СТАТИКА

С т а т и к а — это часть механики, ко­торая изучает условия равновесия тела или системы тел.

Будем считать, что тело находится в равновесии, если оно находится в состоя­нии покоя в инерциальной системе отсчё­та.

Если в динамике мы рассматривали физическое тело как материальную точ­ку, то при изучении равно- весия тела его формой и размерами пренебречь нельзя. В статике используют модель физическо­го тела — абсолютно твёрдое тело.

А б с о л ю т н о т в ё р д о е т е л о ¾ это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. Реальное тело можно считать абсолютно твёрдым телом, если в условиях рассматриваемой задачи его деформации пренебрежимо малы.

Абсолютно твёрдое тело может дви­гаться поступательно и вращательно.

При п о с т у п а т е л ь н о м д в и ж е н и и отре­зок прямой линии, соединяющий две лю­бые точки твёрдого тела, остаётся парал­лельным самому себе.

При в р а щ а т е л ь н о м д в и ж е н и и тела вокруг неподвижной оси все точ­ки твёрдого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой линии, которая называется осью вращения.

1. СТАТИКА ТЕЛА,

НЕ ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

Тело, которое не имеет неподвижной оси вращения, может двигаться поступательно и одновременно вращаться вокруг некоторой оси.. Если такое те­ло находится в равновесии, т. е. находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, то его ускорение рав­но нулю. Тогда по второму закону Нью­тона векторная сумма всех сил, действую­щих на тело, равна нулю, т.е. на тело действуют уравновешенные силы или не действуют никакие силы.

Рис. 78

Сформулируем условие отсутствия поступатель- ного движения тела, не имеющего неподвижной оси вращения.

Тело, не имеющее неподвижной оси вращения, не движется поступательно, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю.

. (Ⅳ.1)

(на рис. 78, а ,б n = 3, т. е. )

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Какое тело можно считать абсолютно твер­дым те- лом?

2. Как формулируется условие отсутствия поступа- тельного движения тела, не имеющего неподвижной оси вращения?

2. СТАТИКА ТЕЛА,

ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ

Если тело имеет неподвижную ось вращения, то под действием внешних сил оно может совершать только вращатель­ное движение.

Рассмотрим диск, который может сво­бодно (без трения) вращаться вокруг не­подвижной оси О¢О² (рис. 79). Пусть в точке А на диск действует сила . Сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси (рис. 80). Раз­ложим вектор этой силы на два составляющих вектора: Сила направлена вдоль радиуса, прохо- дящего через точ­ку А. Эта сила уравновешена силой реакции опоры неподвижной оси . Она не вызывает движения диска. Си­ла направлена перпендикулярно ра­диусу, проведённому через точку приложения силы : ОА , т. е. отрезок прямой ОА есть кратчайшее расстояние от оси вращения (точки О) до линии дей­ствия силы . Сила не уравнове- шена ни­какой другой силой: она вызывает вра­щательное движение диска. Мы видим, что условия равновесия или движения те­ла здесь зависят от двух факторов: моду­ля силы и кратчайшего расстояния от оси вращения до линии действия силы. Поэтому в статике тел, имеющих неподвижную ось вращения, вводится по­нятие момента силы.

М о м е н т с и л ы относительно оси, проходящей через точку О, ¾ это физическая величи­на, модуль которой равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние d от точки О до линии действия силы:

M = F× d. (IV.2)

Мы будем рассматривать момент си­лы как скалярную величину, которая мо­жет быть положительной и отрицатель­ной.

Будем считать, что если сила стремится вращать тело против часовой стрелки относительно оси, проходящей через точ­ку О, то момент силы — положительный (имеет знак плюс).

Тогда момент силы, которая стремится вращать тело по часовой стрелке относительно оси, проходящей через точку О, — отрицательный (имеет знак минус).

Кратчайшее расстояние от оси, проходящей через точку О, до линии действия силы называется п л е ч о м э т о й с и л ы ¾ d.

Модуль момента силы относительно данной оси равен произведению мо­дуля силы на плечо этой силы (формула (IV.2)).

В примере, рассмотренном на рис. 80, сила , которая вызывает вращение дис­ка, имеет плечо d = ОA и стремится вра­щать диск по часовой стрелке.

В данном примере момент силы равен моменту силы , т. к. и (смотри рис. 81).

Момент силы равен нулю, т.к. плечо силы равно нулю.

Единицы момента силы в СИ:

[М] = [F]×[d] = 1 Н××м = 1 кг× м²/с².

Единица момента силы в системе СГС:

[М] = 1 дин × см = 1 г × см²/с².

Рассмотрим тело, имеющее неподвижную ось враще­ния, которая проходит через точку О (рис. 82). Пусть на это тело в точках А и В действуют две силы: сила , которая стремится вращать тело против часовой стрелки, и сила , которая стремится вращать тело по часовой стрелке. Силы и лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Моменты этих сил равны соответственно

M₁ = F₁× d₁ , M₂ = - F₂ × d₂.

Опыт показывает, что, если алгебраическая сумма моментов М₁и М₂больше нуля (M₁ + M₂ > 0), то тело будет поворачиваться против часовой стрелки.

Если алгебраическая сумма моментов М₁и М₂меньше нуля (M₁ + M₂ < 0), то тело будет поворачиватья по часовой стрелке.

Значит, можно сделать вывод:

тело находится в равновесии, если алгебраическая

сумма моментов М₁и М₂ равна нулю.

Если на тело действуют несколько сил, то это правило остается верным, т.е. мы можем сформулировать условие равно­весия тела, имеющего неподвижную ось вращения — правило моментов:

тело, имеющее неподвижную ось вращения, нахо-

дится в равновесии, если алгебраическая сумма

моментов всех сил, действующих на него, равна нулю.

. (IV.3)

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. От каких факторов зависит равновесие или движе- ние тела, имеющего ось вращения?

2. Какой момент силы считается положитель­ным?

3. При каком условии тело, имеющее ось вращения, находится в равновесии?

3. ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА

В общем случае абсолютно твёрдое тело может совершать одновременно два движения: поступатель- ное и вращатель­ное.

При этом, чтобы тело находилось в равновесии, должны выполняться сразу два условия равновесия (IV. 1) и (IV. 3). Так как тело, которое может двигаться и посту­пательно, и вращательно, не имеет неподвижной оси вращения, то момент сил, действующих на такое тело, можно опре­делить относительно любой оси, проходящей через любую точку.

Сформулируем общее условие равно­весия.

Тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю:

, (IV.4a)

. (IV.4б)

Общее условие равновесия (IV.4) можно использовать для расчёта любых статических систем абсолютно твёрдых тел.

4. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

На практике часто встречается слу­чай, когда к телу одновременно прило­жены несколько сил, линии действия ко­торых параллельны. Такие силы назы­ваются п а р а л л е л ь н ы м и с и л а м и.

Задача о сложении параллельных сил состоит в том, чтобы найти величину, на­правление и точку приложения равнодей­ствующей силы.

Рассмотрим пример.

На абсолютно твёрдый горизонтальный стержень ОО'действуют силы как пока­зано на рис. 83. Расстояния ОА, ОВ, ОС и ОD считаем известными. Стержень бу­дет находиться в равновесии, если в неко­торой точке X к нему приложить силу , равную по модулю и противоположную по направле- нию равнодействующей силе

. Найдём модуль R = N и направ­ление равнодействующей силы и расстоя­ние ОХ от начала координат до точки ее приложения. Для решения задачи ис­пользуем общее условие равновесия (IV.4). При этом уравнение (IV.4а)

записываем в проекциях на ось ОУ;

,

откуда находим величину равнодействую­щей силы

Если при подстановке численных зна­чений результат имеет знак плюс, то си­ла R направлена так, как показано на рис. 83; если результат имеет знак минус, то сила R направлена в противополож­ную сторону. Таким образом, мы нашли модуль и направление равнодействующей силы. Точку её приложения найдём из уравнения (IV. 4б).

.

Моменты сил можно определять от­носительно любой точки. В данном слу­чае удобно вычислить моменты сил отно­сительно точки О:

где неизвестно только расстояние ОХ. Подставляя значения моментов в послед­нее уравнение, находим

Задача о равновесии стержня под дей­ствием параллельных сил решена.

Пусть на тело действует пара сил, равных по величине F . Расстояние между линиями действия сил АВ = ℓ (рис. 84) назы­вается плечом пары сил. Найдём суммарный момент пары сил от­носительно оси, проходящей через произвольную точку О:

M = M₁+ M ₂ = F× (AО + ОB)=F× ℓ.

Момент пары сил относительно оси, проходящей через произвольную точку, есть произведение модуля одной силы на плечо пары

M=F× ℓ.