Высказывания и операции над ними

1.1 Понятие высказывания.Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказываниемпонимается предложение, представляющее собой такое утверждение, о котором можно судить, истинно оно или ложно. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1. Москва – столица России.

2. Омск находится на берегу Волги.

3. 3+2=5.

4. Кислород – газ.

5. 3<2.

Высказывания 1), 3), 4) истинны, а высказывания 2), 5) ложны.

Не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения. Предложения «Математика – интересный предмет», «Осень – лучшая пора года» не являются высказываниями, так как нет единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны. Предложения «Сегодня плохая погода», «3х<2» также не являются высказываниями, для того чтобы определить их истинность или ложность, нужны дополнительные сведения: конкретный день, о котором идет речь; значение, которое принимает х.

Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называют простым или элементарным. Из элементарных высказываний с помощью логических связок можно построить высказывания, называемые сложными или составными. Образование составного высказывания с помощью логической связки называют логической операцией.

Из элементарных высказываний можно получить составные с помощью логических связок «не», «неверно, что», «и», «или», «если…, то…», «либо», «тогда и только тогда». Остальные логические связки либо близки по смыслу к каким-либо указанным, либо могут быть заменены их комбинацией. Например, союзы «а», «но» близки по смыслу союзу «и».

Так, из элементарных высказываний «На улице светит солнце» и «В классе идут занятия» можно образовать следующие составные высказывания: «На улице светит солнце, и в классе идут занятия»; «В классе не идут занятия, а на улице светит солнце»; «На улице светит солнце, или в классе идут занятия»; «Если на улице светит солнце, то в классе идут занятия»; «На улице светит солнце тогда и только тогда, когда в классе идут занятия».

В алгебре высказываний все высказывания рассматриваются не с точки зрения их содержания, а с точки зрения их истинности или ложности, то есть их логического значения. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, ни одно высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным. Истинное значение высказывания обозначают буквой и(истина)или символом 1, ложное значение – буквой л(ложь) или символом 0.