Неравенство Бесселя и его следствия.
Для ряда Фурье (1) элемента f определим n-ю частичную сумму
Определение: Обобщенный ряд Фурье (1) называется сходящимся по норме к элементу g евклидового пространства, если
.
Величина называется средним квадратичным отклонением функций.
.
Теорема: Из всех обобщенных многочленов вида
,
ортонормированная система функций, n-я частичная сумма ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение элемента f в смысле нормы, порождаемой скалярным произведением эвклидова пространства.
(т.е. является наилучшей средней квадратичной аппроксимацией функции f(x) на [a,b].
Значит при заданных f(x) и n среднее квадратичное отклонение минимально, когда .
Для доказательства рассмотрим квадрат нормы:
.
Т.к. -ортонормированная система функций, то
=
+
Первое и третье слагаемые не зависят от ,отсюда следует, что минимальное значение достигается, когда второе слагаемое равно нулю, при
.
Для коэффициентов Фурье справедлива следующая
Теорема: Для любого элемента f(x) и любой ортонормированной системы ряд
(составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции f(x)) сходится и справедливо неравенство Бесселя:
.
Замечание: если ортогональная, но не нормированная система функций, то неравенство Бесселя принимает вид:
.
Из предыдущей теоремы следует, что
.
Но левая часть равенства больше или равна нулю, следовательно:
,
Следовательно, все частичные суммы знакоположительного ряда ограничены одним и тем же числом
, и следовательно ряд сходится.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при ,получим неравенство Бесселя.
Определение: Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к функции f(x) на [a,b], если последовательность его частичных сумм сходится к f(x) равномерно, т.е.
и
.
Замечание: Из определения равномерной сходимости следует
при
.
Теорема: Если обобщенный ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции на [a,b] равномерно, то он сходится к f(x) на [a,b] и в среднем квадратичном.
Доказательство: Пусть ряд Фурье функции f(x) сходится к ней на [a,b] равномерно, т.е.
и
.
Тогда
Следовательно, и ряд Фурье по определению сходится к f(x) и в среднем квадратичном.
Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортонормированную систему
называют замкнутой, если для любого элемента f этого пространства
и числа ,
т.е. сходится в среднем квадратичном.
Теорема: Для того, чтобы обобщенный ряд Фурье функции f(x) сходился к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось в равенство Парсеваля- Стеклова
.
Эту теорему можно сформулировать иначе:
Если ортонормированная система замкнута в евклидовом пространстве на [a,b], то для любого элемента этого пространства f(x) верно равенство Парсеваля- Стеклова
.
Необходимость: Пусть сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном, т.е.
, по теореме об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье
тогда
.
Достаточность: Пусть выполняется равенство Парсеваля-Стеклова
тогда
Следовательно, обобщенный ряд Фурье сходится к f(x) на [a,b] в среднем квадратичном.
Определение: В бесконечномерном евклидовом пространстве ортогональную систему функций называют полной, если единственным элементом в этом пространстве ортогональным всем элементам
этой системы является нулевой элемент.
следовательно
.
Теорема
Любая замкнутая ортогональная система функций бесконечномерного эвклидова пространства является полной.
Доказательство
Пусть - замкнутая ортогональная система функций и для
выполняется условие
. Тогда коэффициенты Фурье равны нулю.
. Так как система замкнута, то выполняется равенство Парсеваля-Стеклова.
, а значит и левая часть равенства равна нулю.
, а следовательно, и
, а система функций
является полной.
Преобразуем равенство Парсеваля-Стеклова с учётом традиционных обозначений коэффициентов тригонометрического ряда Фурье:
, или
- уравнение Ляпунова.
Основная тригонометрическая система функций обладает полнотой, то есть для любой функции интегрируемой с квадратом имеет место равенство Парсеваля-Стеклова, следовательно функцию с периодом
можно разложить в ряд Фурье, который будет сходиться к функции
в среднем квадратичном.
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 5585;