Признаки сходимости рядов с положительными членами
Теорема 1 (признак Даламбера).
Дан ряд с положительными членами
(1)
Если существует конечный предел
. (2)
Тогда:
1) при ряд (1) сходится;
2) при ряд (1) расходится.
Доказательство. Воспользуемся определением предела последовательности. Рассмотрим случай, когда , выберем произвольное число так, чтобы число .
Из определения предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера , для всех выполняется неравенство
(3)
Воспользуемся неравенством . тогда
…………………………..
Ряд при сходится, то сходится ряд , являющийся остатком ряда (1), а следовательно, сходится ряд (1).
2). Рассмотрим случай, когда ,
Тогда из неравенства (3) следует, что
Следовательно, начиная с номера не выполняется необходимое условие сходимости ряда, значит в этом случае ряд (1) расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Воспользуемся признаком Даламбера. Найдем
.
Далее находим предел
.
Из полученного результата делаем вывод, что исследуемый ряд сходится.
Терема 2 (признак Коши). Пусть для ряда (1) с положительными членами существует предел
(4)
Тогда
1) если , то ряд (1) сходится;
2) Если , то ряд расходится.
Воспользуемся определением предела последовательности.
Рассмотрим случай, когда . Выберем произвольное, достаточно малое число , так чтобы
Тогда из равенства (4) следует, что существует такой номер , что для всех
Будет выполняться неравенство
(5)
Из неравенства (5) следует, что для
.
Из сходимости ряда и признака сравнения ряд (1) в этом случае сходится.
2) Пусть .
Тогда, обозначив , из определения предела получаем, что для
. Тогда из расходимости ряда ( ) и признака сравнения следует расходимость ряда (1).
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 717;