Кинетическая энергиявращательного движения

Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Будем рассматривать тело как систему материальных точек и воспользуемся формулой (5.15). Скорость V_i материальной точки выразим через угловую скорость вращения тела по формуле Эйлера (1.21).

.

Здесь через r_i обозначен радиус-вектор i-ой частицы тела, w_i ее угловая скорость (одна и таже для всех точек), наконец J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела описывается следующей формулой

.

Последнее уравнение для вращательного движения тела аналогично уравнению T=mV²/2 для поступательного движения.

Если тело движется поступательно в инерциальной системе отсчета со скоростью V₀ и вращается относительно подвижной оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью w, причем ось перпендикулярна направлению скорости V₀ (так называемое плоское движение, например, качение колеса), то его кинетическая энергия Т равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

,

здесь m – масса тела, J – его момент инерции относительно оси вращения.

Докажем справедливость соотношения (5.17). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:

,

где - скорость движения i-й материальной точки относительно неподвижной системы отсчёта; V_ЦМ – скорость центра масс тела; r_i – радиус-вектор i-й точки, проведенный из центра масс; w – угловая скорость вращения тела. Возведя выражение для в квадрат, получим:

.

Используем свойство аддитивности кинетической энергии, и запишем:

.

В полученном выражении последнее слагаемое равно нулю, т. к.

,

вектор по определению равен радиус-вектору центра масс тела, который равен нулю в системе центра масс. Окончательно имеем:

.