Тригонометрические функции и их свойства. Тригонометрические функции в комплексной области
В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего данному углу α треугольника, к гипотенузе называется синусом (sin α) этого угла, а отношение прилежащего катета к гипотенузе - косинусом (cos α) угла α; отношение противолежащего катета к прилежащему -тангенсом (tg α), а прилежащего к противолежащему - котангенсом (ctg α) угла α.
Из свойств подобных треугольников следует, что синус, косинус, тангенс и котангенс не зависят от размеров треугольника, а однозначно определяются углом 
, 0 < < 
/2.
Легко видеть, что они связаны соотношениями
| sin2 α + cos2 α =1, tg α = sin α /cos α, ctg α = cos α /sin α, |
Для определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в случае произвольного угла α, -∞ < α < +∞, рассмотрим на координатной плоскости переменных x, y окружности радиуса 1 с центром О в начале координат.
Обозначим α угол, который образует вектор 
, идущий из начала координат в точку А = (x, y), с положительным направлением оси x, иначе говоря, угол, на который надо повернуть единичный вектор оси x, Чтобы он совпал с вектором . При этом угол, который получается указанным вращением, считается положительным, если вращение производится против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Таким образом, угол α, который образует вектор с осью x, определен с точностью до целого, кратного полному обороту в ту или другую сторону. Следовательно, если - величина угла в радианной мере, образованного вектором с осью x, то при любом целом n угол α + 2πn также будет углом, образованным этим вектором с осью x.
Если 0 < α < π/2, то согласно данному выше определению
| sin α = x, cos α = y. |
Если α - произвольный угол, -∞ < α < +∞, и - единичный вектор с координатами x, y, образующий угол α с осью x, то формулы
| sin α = x, cos α = y. |
принимаются за определение значений синуса и косинуса этого угла. Из них следует, что
| sin (α + π) = -sin α , cos (α + π) = -cos α. |
Тангенс и котангенс произвольного угла α определяются по формулам
| tg α = sin α /cos α, α≠ π/2 + πn; ctg α = cos α /sin α, α≠ πn; n = +0, +1, +2, ... |
Таким образом, они определены для всех тех , для которых знаменатели в правых частях равенств tg α = sin α /cos α, α≠ π/2 + πn; ctg α = cos α /sin α, α≠ πn не обращаются в нуль.
Синус, косинус, тангенс и котангенс называются основными тригонометрическими функциями. Из их определения следует, что они являются периодическими функциями: при полном обороте (на 360o в градусной мере или на 2π в радианной) в том или ином направлении радиус займет прежнее положение, т. е. будет иметь те же самые координаты, а следовательно, синус, косинус, тангенс и котангенс примут прежние значения. Из формул sin (α + π) = -sin α, cos (α + π) = -cos α и tg α = sin α/cos α, α≠ π/2 + πn; ctg α = cos α/sin α, α≠πn следует, что значения тангенса и котангенса будут повторяться и через пол-оборота. Таким образом, синус и косинус являются периодическими функциями с периодом 2π, а тангенс и котангенс - с периодом π.
Основные свойства sin x:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Основные свойства cos x:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Основные свойства tg x:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Основные свойства ctg x:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Дата добавления: 2015-07-30; просмотров: 2047;