Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексным числом zназ. выражение , где а и в – вещественные числа, i – мнимая единица или специальный знак.

При этом выполняются соглашения:

1) с выражением a+bi можно производить арифметические операции по правилам, которые приняты для буквенных выражений в алгебре;

2) i²=-1;

3) a+0i=a;

4) 0+bi=bi

5) равенство a+bi=c+di, где a, b, c, d – действительные числа, имеет место тогда и только тогда, когда a=c и b=d.

Число 0+bi=bi называется мнимым или чисто мнимым.

Любое действительное число а есть частный случай комплексного числа, ведь его можно записать в виде a=a+ 0i. В частности, 0=0+0i, но тогда ели a+bi=0, то a+bi=0+0i, следовательно, a=b=0.

Т.о., комплексное число a+bi=0 тогда и только тогда, когда a=0 и b=0.

Из соглашений следуют законы преобразования комплексных чисел:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Мы видим, что сумма, разность, произведение и частное (где делитель не равен нулю) комплексных чисел, в свою очередь комплексное число.

Число а наз. вещественной частью комплексного числа z (обозначается ), в – мнимая часть комплексного числа z (обозначается ).

Комплексное число z с нулевой вещественной частью наз. чисто мнимым, с нулевой мнимой – чисто вещественным.

Два комплексных числа наз.равными,если у них совпадают и вещественная и мнимая части.

Два комплексных числа наз. сопряженными, если у них веществ. части совпадают, а мнимые отличаются знаками. , то сопряженное к нему .

Сумма сопряженных чисел есть число веществ, а разность чисто мнимое число. На множестве комплексных чисел естественным образом определены операции умножения и сложения чисел. Именно, если и - два комплексных числа, то сумма: ; произведение: .

Определим теперь операции вычитания и деления.

Заметим, что произведение двух комплексных чисел есть число веществ.

(т.к. i=-1). Это число наз. квадратом модуля числа . Т.о., если число , то его модуль есть вещественное число.

(деление на 0 запрещено)

В отличие от вещественных чисел для комплексных чисел не вводится понятие «больше», «меньше».

Геометрическое представление комплексных чисел.Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулемкомплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргументкомплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .

Тригонометрическая формакомплексного числа. Наряду с записью комплексного числа в алгебраической форме также употребляется и другая, называемая тригонометрической.

Пусть комплексное число z=a+bi изображается вектором ОА с координатами (a,b). Обозначим длину вектора ОА буковой r: r=|ОА|, а угол, который он образует с положительным направлением оси Ох – через угол φ.

Воспользовавшись определениями функций sinφ=b/r, cosφ=a/r, комплексное число z=a+bi можно записать в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где , а угол φ определяется из условий

Тригонометрической формой комплексного числа z называется его представление в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где r и φ – действительные числа и r≥0.

Действительно число r называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а угол φ – аргументом комплексного числа z. Аргумент φ комплексного числа z обозначается Arg z.

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме:

Это знаменитая формула Муавра.

8.Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов

Векторное пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям:

1) х+у=у+х (коммутативность сложения);

2)(х+у)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x+0=x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х+у =0,

5) 1 · х=х, где 1 – единица поля

6) α(βx)=(αβ)х (ассоциативность умножения), где произведение αβ есть произведение скаляров

7) (α+β)х=αх+βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) α(х+у)=αх+αу(распределительное свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям 1-8.

Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Теорема “Простейшие свойства векторных пространств”

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или .

4. .

Док-во

Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть – еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае , а во втором – . Тогда и , откуда следует, что , ч.т.д.

Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует 0*х=0

Теперь докажем утверждение 4). Пусть – произвольный вектор. Тогда

Отсюда сразу же следует, что вектор (-1)х является противоположным вектору х.

Пусть теперь х=0. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, и получаем:

Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует или 1*х=0 или х=0

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно-зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что (1)

Система из k векторов называется линейно-независимой, если равенство (1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1) тривиальная.

Замечания:

1. Один вектор тоже образует систему: при линейно-зависимую, а при линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно-зависима.

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно-зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно-зависима.

4. Система из k>1 векторов линейно-зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно-независимую систему, образуют линейно-независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно-зависимую подсистему, линейно-зависима.

7. Если система векторов линейно-независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно-зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов — линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что . В этом равенстве . В самом деле, если , то . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).

Тогда из равенства получаем .

Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Ранг и базис системы векторов. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов системы.

Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Док-во:

Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда =.

2 случай. Вектор - не из базиса. Тогда r>k.

Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, с, не все равные нулю, такие, что