Важнейший случай СЛАУ.

Однородные СЛАУ – называется однородной, если все её свободные члены нули( столбцов свободных членов 0).

1≤i ≤m

L– множество решений однородной СЛАУ(1).

Теорема о Lподпространство в Rⁿ

Сумма любых двух решений вновь решение.

λ=(λ_j) и β=(β_j)∊L

γ=λ+β=(γ_j=λ_j+β_j)⇒

Система совместна всегда, так как есть всегда 0 решений.

Теорема о базисе и размерности пространства решений однородной СЛАУ.

Пусть задана произвольная однородная СЛАУ(1).

1) r=rangA=rang(α_ij) (r≤m)

2) фиксируем ранговый минор, не ограничивая общности.

3) Разбиваем на 2 группы

x₁, x₂,…, x_r- основные

x_r+1, x_r+2,…, x_n- свободные

1≤i≤r, n≤m

n-r– серия свободных неизвестных, определитель должен быть отличен от нуля.

λ ₁=(λ_1,1,…, λ_1,r, λ_1,r+1,…, λ_1,n)∊L

λ ₂=(λ_2,1,…, λ_2,r, λ_2,r+1,…, λ_2,n)∊L

…………………………………

λ _n-r=(λ_n-r,1,…, λ_n-r,r, λ_n-r,r+1,…, λ_n-r,n)∊L

Пусть β – произвольные решения

β =(β₁,…, β_r, β_r+1,…, β_n), где (β₁,…, β_r) – основные, (β_r+1,…, β_n) – свободные.

Пример:

dimL₁

rangL₁=2

rangL₂=2

Связь решений произвольной СЛАУ и её приведенной однородной.

Теорема 1.Разность любых двух решений СЛАУ(1) будет решением её приведенной системы.

Теорема 2.Сумма любого частного решения системы(1) и любого решения системы(2) является частным решением системы(1).

Теорема 3.Сумма любого частного решения системы(1) и общего решения его приведенной системы(2) является общим решением системы(1).