Вынужденные колебания в последовательном контуре.
Итак, контур подключен теперь к источнику высшей гармонической электродвижущей силы с амплитудой .
Составим дифференцированное уравнение колебания:
2 – е уравнение Кирхгофа: , где – падение напряжения на каждом участке , - мгновенное ЭДС.
+
Для упрощения нахождения амплитуд и начальных фаз вынужденных колебаний воспользуемся приемом, получившие название метода комплексных амплитуд. Он необходим для анализа линейных систем и для нахождения линейных величин.
Этот метод основан на связи функций тригонометрических и экспоненциальных (на формулах Эйлера).
Эти формулы ; .
Эти формулы нужны для замены тригонометрических функций показательными.
и проведем все вычисления в экспоненциальной форме.
Мы получаем ответ в виде комплексного числа и мнимая часть отбрасывается.
– комплексная амплитуда ЭДС.
Комплексная амплитуда характеризует амплитуду и начальную фазу сигнала .
Теперь уравнение имеет вид:
( )
Частное решение также будет иметь комплексный вид:
Интегрируемая только частным решением, общее решение быстро затухает.
Подставим ( )
=
= ( )
= – импеданс цепи (полное сопротивление)
– активное сопротивление цепи
– импеданс активного сопротивления.
– реактивное сопротивление цепи (контура),
– импеданс катушки,
- импеданс конденсатора,
, – модуль полного сопротивления цепи,
– модуль .
( ) или – аргумент (комплексного числа).
Решаем уравнение ( ) – комплексная форма.
; (где - амплитуда тока, - фаза тока)
Преобразуем: ; ( ;
Подставим в уравнение для :
, где - обобщенная расстройка.
,
,
, - резонансная.
Амплитуда колебаний при резонансе пропорциональна добротности.
Определение добротности (как определить добротность)
Имеем: , учитывая получим
Пусть , тогда
.
Считаем, что - очень мало
Тогда
– ширина полосы пропускания контура.
- полоса пропускания контура.
; – т.о. определяется добротность.
– при резонансе.
- аргумент - комплексные числа. (Ток и напряжение совпадают при резонансе).
Графики вышеприведенных зависимостей показывают, что последовательный контур является фильтром, обеспечивающим передачу сигналов, частоты которых находятся в окрестности резонансной частоты.
Дата добавления: 2015-06-22; просмотров: 1630;