Затухаючі коливання і аперіодичний рух
Припустимо, що в розглянутих системах існує тертя чи опір, причому сила тертя (опору) пропорційна швидкості: Fm=-rυ, де r - коефіцієнт тертя (опору). Запишемо в цьому випадку рівняння руху (II закон Ньютона).
ma = -kx-rυ або .
Позначивши ,отримаємо диференційне рівняння другого порядку, що описує рух пружинного маятника у присутності сил тертя
. (1.49)
Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди-ференційному рівнянню (1.49):
.
Знайдемо корені характеристичного рівняння
. (1.50)
Загальний розв'язок рівняння (1.49) залежить від знака різниці β2-ω02. Розглянемо всі можливі випадки:
1. β2<ω02, коли корені характеристичного рівняння є комплексними числами (затухаючі коливання)
,
де - циклічна частота. У випадку комплексних коренів характеристичного рівняння загальний розв'язок (1.49) має вигляд
, або
, (1.51)
де A(t) = A0e -βt- амплітуда коливань, яка зменшується за експоненціальним законом, (β - коефіцієнт затухання, визначає швидкість затухання амплітуди. Залежність х = f (t) для затухаючих коливань подано на мал. 1.23.
Мал. 1.23. Затухаючі коливання.
Ступінь затухання часто характеризують декрементом затухання S і логарифмічним декрементом затухання λ*:
,
де період затухаючих коливань дорівнює
2. β2>ω02 , коли корені характеристичного рівняння є дійсними числами (аперіодичні коливання)
<0
У цьому випадку загальний розв'язок рівняння (1.49) матиме вигляд
(1.52)
що відповідає аперіодичному рухові (мал. 1.24).
3. β2>ω02 , коли корені є кратними. Легко побачити, що і в цьому випадку рух тіла буде аперіодичним.
Коливання, що виникають у системі при відсутності зовнішніх сил, називають вільними. Частота вільних коливань залежить як від пружних властивостей системи (ω0), так і від інтенсивності втрат (β). Якщо β2<<ω02, то ω ω0 i період вільних коливань
стає близьким до періоду власних коливань (мал. 1.23).
Мал. 1.24. Аперіодичний рух.
Дата добавления: 2015-06-22; просмотров: 1278;