Опис стану за допомогою хвильової функції. Рівняння Шредінгера.

Так як з мікрочастинкою співставляють хвильовий процес, який відповідає її рухові, то стан частинки в квантовій механіці описується хвильовою функцією, залежною від координати і часу: .

Інтенсивність хвиль де Бройля визначається величиною квадрата модуля хвильової функції .

З дослідів по дифракції електронів випливає, що інтенсивність хвиль у певній точці простору визначає число електронів, що потрапили в цю точку за 1 с. Це стало основою для своєрідного імовірнісного тлумачення хвиль де Бройля. Ймовірність того, що частинка знаходиться в елементі об’єму , пропорційна і елементу об’єму

Величина є густиною ймовірності

і задає ймовірність перебування частинки в даній точці простору.

(7.7)

В квантовій механіці існують обмеження в можливостях одночасного визначення координати частинки і величини її імпульсу. Ці обмеження пов’язані з хвильово – корпускулярним дуалізмом мікрочастинок. Гейзенберг показав, що чим точніше визначена одна з двох змінних величин, які визначають стан мікрочастинки, тим з меншою точністю може бути визначена друга з них і навпаки. Добуток похибок, з якими визначаються ці величини, не може бути менше сталої Планка . Наприклад, якщо координата х частинки визначена з похибкою , то імпульс частинки визначається з похибкою , більший, або рівний сталій Планка:

(7.8)

Аналогічне співвідношення є для при визначенні енергії і часу , на протязі якого частинка має цю енергію:

.

(7.9)

В квантовій механіці дію на об’єкти в процесі вимірювання не можна вважати малою або несуттєвою – стан об’єкту при вимірюванні змінюється. Наприклад, для визначення положення електрона його необхідно “освітити” світлом можливо більш високої частоти. В результаті співудару електрона з фотоном імпульс електрона зміниться на величину: .

Рівняння Шредінгера та його розв’язок для атома водню. Квантові числа.

Після відкриття в 1927р. Гейзенбергом співвідношення невизначеностей постало питання створення квантової теорії руху частинок, оскільки виявилися принципова неможливість описати рух частинок за допомогою поняття траєкторії. Стан мікрочастинок описується - функцією, яка визначається рівнянням Шредінгера, яке відіграє в квантовій механіці таку ж роль, як і рівняння Ньютона в класичній механіці. Образно кажучи, Шредінгер перевів уявлення класичної механіки на мову квантової теорії. За допомогою хвильового рівняння Шредінгера можна описати еволюцію - функції, якщо вона відома в якийсь момент часу.

Якщо - функція не залежить від часу вона задовольняє стаціонарному рівнянню Шредінгера, яке для одномірного випадку має вигляд:

(7.10)

де – маса частинки, - її повна і потенціальна енергія.

Функції , які задовільняють рівняння Шредінгера при заданому вигляді , називаються власними функціями. Вони існують лише при певних значеннях енергії. Сукупність власних значень енергії утворює енергетичний спектр частинки. Знаходження власних значень і власних функцій складає основну задачу квантової механіки.

Опис стану атомів і молекул з допомогою рівняння Шредінгера є досить складною задачею. Найпростіше вона розв’язується для одного електрона в полі ядра. Проте і в цьому випадку розв’язок виходить за межі нашого курсу, тому ми обмежимося якісним розглядом питання.

При центральній симетрії поля, створеного ядром, задачу зручно розв’язувати у сферичних координатах , і . Розв’язок рівняння Шредінгера знаходять у вигляді добутку трьох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної

(7.11)

Загальний розвиток є дискретним, тобто кожна з функцій має набір (спектр) розв’язків, кожному з яких відповідає певне квантове число.

Перше з них – головне квантове число ... .Воно визначає рівні енергії електрона по закону

(7.12)

Цей вираз є розв’язком рівняння Шредінгера і повністю співпадає з відповідною формулою теорії Бора.

Друге квантове число – орбітальне , яке при даному n може приймати значення . Це число характеризує орбітальний момент імпульса електрона відносно ядра:

(7.13)

Третє квантове число – магнітне m, яке при даному l приймає значення 0, всього значень.

Це число визначає проекції орбітального момента імпульса електрона на довільно вибраний напрям Z :

(7.14)

Четверте квантове число – спінове . Воно може приймати тільки два значення і характеризує можливі значення проекції спіна електрона :

(7.15)

Стан електрона в атомі з відомими n і позначають таким чином 1S, 2S, 3P, 3S і т. д. Тут цифра вказує значення головного квантового числа, а буква – орбітальне квантове число: символам … відповідають значення l=0, 1. 2, 3..і т. д.

Число станів з даними n і буде . Щоб знайти загальне число станів з однаковим головним квантовим числом n, просумуємо по всі можливим значенням :

(7.16)

Таким чином, першому рівню енергії атома водню (n=1) відповідають два стани електрона, другому – 8, третьому –18 і т. д.

Стаціонарний квантовий стан електрона в атомі характеризується повним набором чотирьох квантових чисел: головного , орбітального , магнітного m і спінового . Кожне з них характеризує квантування: енергії , моменту імпульсу , його проекції на напрям зовнішнього магнітного поля і проекції спіна .

Для елементарних частинок, що мають спін рівний (електрони, протони, нейтрони та ін.) справедливий принцип Паулі: в будь – якій системі частинок із спіном не може бути більше однієї частинки, що знаходиться в стаціонарному стані, який визначається повним набором чотирьох квантових чисел.

Якщо є число електронів в атомі, які знаходяться у стані, що визначається даним набором чотирьох квантових чисел, то або 1.

Найбільше число електронів в атомі, які знаходяться в станах, що визначаються набором трьох квантових чисел

Найбільше число електронів в атомі, які знаходяться в станах, що визначаються набором двох квантових чисел .

Найбільше число електронів в атомі, які знаходяться в станах, що визначаються значенням головного квантового числа .