Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупности

Пусть — генеральная совокупность, распределенная по нормальному закону с неизвестной дисперсией . Из генеральной совокупности взята случайная выборка и вычислена выборочная дисперсия .

Требуется проверить нулевую гипотезу , где — заданное значение дисперсии генеральной совокупности. Для проверки нулевой гипотезы используют статистику

, (9.4.1)

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет ‑распределение с степенями свободы.

Границы и критической области определяем по таблицам ‑распределения с степенями свободы или используя функцию ХИ2ОБР (вероятность; степени_свободы) из EXCEL, или используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD.

Пример 3. Точность работы автоматической линии проверяют по дисперсии контролируемого размера, которая не должна превышать 0,1 мм². По результатам выборочного контроля получены следующие данные:

Контролируемый размер, , мм2	43,0	43,5	43,8	44,4	44,6
Частота

Требуется проверить при уровне значимости 0,01, обеспечивает ли линия требуемую точность.

m Решение.Задача состоит в проверке гипотезы о значении дисперсии при альтернативной гипотезе . Таким образом, необходимо построить правостороннюю критическую область. Расчетное значение критерия вычисляем по формуле , следовательно, по данным статистического ряда необходимо вычислить выборочную дисперсию. Дальнейшие вычисления удобно оформить в виде таблицы:

№
	43,0		129,0	-0,863	0,745	2,236
	43,5		304,5	-0,363	0,132	0,924
	43,8		438,0	-0,063	0,004	0,040
	44,4		355,2	0,537	0,288	2,304
	44,6		89,2	0,737	0,543	1,085
Итого			1315,9			6,590
Среднее			43,863			0,220

; ;

.

Из условия , при числе степеней свободы равным находим границу правосторонней критической области. По таблице ‑ распределения получаем .

Заметим, что аналогичный результат можно получить с помощью EXCEL или MATHCAD: или .

Это означает, что критической областью является . Очевидно, что расчетное значение находится внутри критической области, следовательно, нулевая гипотеза отвергается, т.е. автоматическая линия не обеспечивает заданную точность и требуется ее регулировка. l