МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
(МЕТОД ЛАГРАНЖА)
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Согласно изложенному в п. 8.4, его общее решение представимо в виде . Общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде
. (22)
с произвольными постоянными . Функции
, в зависимости от корней характеристического уравнения, имеют вид:
(а) — при
,
;
(б) — при
,
;
(в) — при
,
.
Таким образом, остается найти какое-либо частное решение исходного неоднородного уравнения . Метод вариации произвольных постоянных, предложенный Лагранжем, предполагает отыскание
в виде, аналогичном (22), но уже с переменными множителями при
и
:
.
Здесь – подлежащие определению неизвестные функции.
Вычислим производные частного решения (аргумент для краткости опускаем):
.
Наложим на функции условие:
; (23)
тогда
.
Дифференцируем повторно:
.
Подставим выражения для в исходное уравнение и сгруппируем по отдельности слагаемые с
и с
:
.
Множители при и
равны тождественно нулю, поскольку функции
и
являются решениями однородного уравнения, так что
. (24)
Соотношения (23) и (24) дают систему двух уравнений относительно неизвестных :
(25)
Решая эту систему, получим выражения для через уже известные функции
, после чего сами функции
находятся интегрированием.
В качестве итога сформулируем алгоритм решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных:
1. Решение соответствующего однородного уравнения, получение функций .
2. Запись общего решения соответствующего однородного уравнения в виде .
3. Вычисление производных .
4. Запись системы (25) для отыскания .
5. Решение системы, получение функций .
6. Нахождение каких-либо первообразных ин-
тегрированием функций .
7. Запись частного решения неоднородного уравнения в виде
.
8. Запись общего решения неоднородного уравнения:
.
Пример. Решим методом вариации произвольных постоянных уравнение . Следуя алгоритму, последовательно получаем:
1. ;
;
;
.
2. .
3. .
4.
5. .
6. Интегрируя по частям, имеем:
.
.
7. .
8.
.
Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 1608;