Формирование сетки

Метод конечных элементов основывается на том, что любое непрерыв­ное распределение физической переменной u(x,y,z,t) в расчетной области, на­пример деформацию или температурное поле, можно аппроксимировать на­бором кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе по­добластей (конечных элементов). Данные элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

В зависимости от геометрии и размерности задачи используют различ­ные виды конечных элементов (см. рис. 6.7). Чаще всего применяются про­стейшие элементы - симплексы.

а б в

Рис. 6.7 ‑ Некоторые виды конечных элементов: a - одномерные; б -двухмерные; в - трехмерные

Количество узлов в симплексе на единицу превышает размерность за­дачи. Для двухмерной задачи симплекс-элементом будет являться прямоли­нейный трехузловой треугольник, а для трехмерных - прямолинейный четы-рехузловой тетраэдр. Широкое применение симплексов обусловлено тем, что они позволяют заполнять расчетную область произвольной формы полно­стью без разрывов, а также на них удобно использовать в качестве аппрокси­мирующих функций линейные полиномы.

Обычно для разбиения расчетной области на элементы используется специальный алгоритм покрытия, обеспечивающий автоматическую гене­рацию сетки.

Одна из таких процедур работает следующим образом (см. рис. 6.8, а). Вначале производится нанесение с некоторым шагом узлов на границу об­ласти. После этого внутри области строится вспомогательная кривая эквиди­стантная границе. На кривую также наносятся узлы. Поочередное соединение узлов на первом и втором контурах дает симплексы. Далее все операции по­вторяются до заполнения симплексами всей области.

Известны и другие алгоритмы формирования конечных элементов, на­пример, «картографический», использующий наложение на расчетную об­ласть сетки, которая затем адаптируется к границам и неоднородностям гео­метрии, или методы, основанные на заполнении объекта набором фигур (тел) с использованием свойств симметрии или отражения.

Конечно-элементная аппроксимация

Рассмотрим построение аппроксимации на одномерном примере. Пусть требуется найти распределение некоторой непрерывной функции u(x) вдоль стержня (см. рис. 6.9, а). На практике эта функция может описывать, например, распределение температуры или деформацию стержня.

а б

Рис. 6.9 ‑ Одномерное распределение

Выберем и пронумеруем ряд точек вдоль оси х ‑ это узловые точки (рис. 6.9, б). В нашем примере взято всего пять точек. Вообще говоря, их мо­жет быть произвольное количество, и располагаться они могут не на равном расстоянии друг от друга. Предположим, что значения в узловых точках известны. Они обозначены на рис. 6.9, б в соответствии с номерами узлов – u₁ u₂, u₃, u₄,.

Разбиение расчетной области, то есть стержня, на конечные элементы может быть проведено различными способами. Можно, например, выделить четыре элемента, включив в каждый из них по два соседних узла (рис. 6.10 а). А можно выделить в стержне всего два элемента, содержащие по три узла (рис. 6.10, б).

При использовании четырех элементов, каждый из которых включает только два узла, аппроксимирующая функция в пределах элемента будет ли­нейна по х, так как две точки однозначно определяют прямую линию. Общая аппроксимация зависимости и(х) по всей длине стержня будет складываться из четырех отрезков прямых (рис. 6.10, а).

Зависимость u(x) в пределах одного элемента, ограниченного двумя со­седними узлами x_i и Xj? (j = i + 1), можно представить линейным интерпо­ляционным полиномом u(x) ~ ? а + a_x x. Определив параметры а и а_х по из­вестным в точках x_i и xj ? значениям функции u_i и U_j,? запишем интерполяцион­ный полином, то есть функцию элемента следующим образом:

(6.86)

где N_i и _Nj - функции формы конечного элемента, u_i и u_j - значения функции u(x) в точках x_i и x_j, – матричная строка функций формы элемента

Следует отметить, что ряд терминов метода конечных элементов получили назва­ние из механики, где он впервые начал активно использоваться.

В случае разбиения области на два элемента (рис. 6.10, б) три узловые точки в каждом из них позволяют однозначно определить функции элемен­тов в виде полиномов второй степени. Соответственно распределение u(х) на всей длине стержня будет аппроксимироваться кусочно-непрерывной квадратичной функцией. При этом общая аппроксимация для стержня может содержать излом из-за несовпадения углов наклона графиков полиномов (их первых производных) в третьем узле.

Для двухмерной или трехмерной задачи аппроксимация строится ана­логичным образом. В зависимости от вида элементов (количества используе­мых в них узлов) также применяется линейная или нелинейная аппроксима­ция. Примеры аппроксимации двухмерной непрерывной функции u(x,y) при­ведены на рис. 6.11.

Функция формы элемента будет представлена плоскостью, если для не­го взято минимальное число узлов, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного ‑ четырем. В этом случае используют линей­ную аппроксимацию .

По аналогии с одномерным случаем линейный интерполяционный многочлен для простейшего треугольного элемента, включающего только три узла, записывают в виде

(6.87)

где N_t , Nj , N_k - функции формы элемента, и ,?uj , u_k - значения функции в узлах, принадлежащих элементу, [N^(e)] - матричная строка функций формы элемента, [u^(e)] - вектор-столбец значений функции u(x,y) в его узлах. Если элемент содержит большее количество узлов, то аппроксимирующая функ­ция элемента будет отображаться криволинейной поверхностью.

Для всей расчетной области аппроксимацией распределения u(x,y) яв­ляется кусочно-линейная (или кусочно-нелинейная) поверхность, каждый из участков которой определяется на отдельном элементе с помощью значений u(x,y) в принадлежащих ему узлах.

Для построения аппроксимации так, как это было показано выше, не­обходимо знать распределение u(x,y) во всей расчетной области. Однако до решения задачи эта зависимость обычно как раз и не известна. Тем не менее, используя аппроксимирующие формулы (6.86) или (6.87), решение можно полу­чить. Способы отыскания решения рассмотрены ниже.

Построение решения

Вначале необходимо провести объединение конечных элементов в ансамбль. Значения u₁, u₂, и₃, ... в узлах теперь будем рассматривать как неиз­вестные переменные, которые необходимо найти. Сформируем из этих зна­чений, взятых по всей расчетной области, столбцовую матрицу, которую обозначим . Каждой строке соответствует узел сетки конечных элементов. Тогда аппроксимацией для всей расчетной области (в двухмерном случае) будет

,

где - матричная строка функций формы всех конечных элементов, вхо­дящих в расчетную область. При составлении матриц и произво­дится сквозная нумерация узлов. Для двух- и трехмерных задач эта процеду­ра сложна и от нее в значительной степени зависит время расчета.

Следующий этап ‑ построение разрешающей системы алгебраических уравнений на основе конечно-элементной аппроксимации. В результате ре­шения задачи узловые значения u₁, u₂, u₃, ... должны быть «подобраны» так, чтобы они обеспечивали наилучшее приближение к истинному распределе­нию u(x,y). Этот «подбор» может осуществляться различными способами.

Существуют вариационная и проекционная формулировки метода ко­нечных элементов. При вариационном подходе производится минимизация некоторого функционала, связанного с исходным дифференциальным урав­нением. Например, в задачах механики может минимизироваться потенци­альная энергия системы. Процесс минимизации приводит к решению систе­мы алгебраических уравнений относительно узловых значений и(х).

Проекционный вариант метода конечных элементов является частным случаем метода взвешенных невязок. Последний основан на минимизации невязки в дифференциальном уравнении при подстановке в него приближен­ного решения вместо точного. В методе конечных элементов оценка невязки производится по отдельным элементам и также сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно узловых значений и(х).

При построении решения функции формы N позволяют определять в пределах каждого элемента пространственные дифференциальные операторы первого порядка от скалярного или векторного поля (см. (22)).

В методе конечных элементов также как и в методе конечных разно­стей матрица коэффициентов системы уравнений включает большое число нулевых элементов, что облегчает решение задачи.

К достоинствам метода конечных элементов, благодаря которым он на­ходит широкое применение, относятся гибкость и разнообразие сеток, четко формализованные алгоритмы построения дискретных задач для произволь­ных областей, простота учета естественных краевых условий. Кроме того, этот метод применим к широкому классу исходных задач, а оценки погреш­ностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей.

Несмотря на то, что метод конечных разностей на первый взгляд пред­ставляется наиболее легким в реализации, и был разработан раньше метода конечных элементов, последний в настоящее время является доминирующим в современных расчетных программах.