Влияние кривизны земной поверхности на измерение горизонтальных и вертикальных расстояний

Рассмотрим, к каким погрешностям приведет замена сферической поверхности плоскостью и определим размеры участка земной поверхности, который с достаточным для практических целей приближением можно считать плоскостью.

Пусть дуга САВ (рис.1.12) часть уровенной поверхности Земли, принимаемой за шар с центром О и радиусом R. C’B’ - касательная к дуге в точке А. Продлим радиусы ОС и ОВ до пересечения с касательной в точках С ’ и В’. Найдем разность между длиной касательной C’ B’ и дуги САВ.. Для удобства вывода формул возьмем половину дуги, обозначим ее S, половину касательной, обозначим ее D и центральный угол АОВ через j, Определим разность длин касательной и дуги и длину отрезка ВB’между касательной и дугой: D S = D – S ; h = ВВ’ = ОВ’ – R. Из рис.1.12. запишем S = Rj ; D = R tg j . Для упрощения вывода формулы разложим в ряд tgj и, ограничиваясь величинами первого порядка, получим рабочие формулы: DS = S³/ 3R² ; h = S²/2R . Отсюда S_D =r = ³Ö3R²DS ; S_h = Ö2R h.

Величину S можно считать радиусом r круга на земной поверхности, в пределах которого разность DS не превышает некоторую заданную величину, а h не превышает требуемую точность измерения высот. Если поставить условие чтобы DS не превышала 1см (такая точность удовлетворяет запросам большинства работ) и принять R = 6371км, то S = r » 11км. Следовательно, участки земной поверхности площадью до 400км² (круг диаметром 20км или квадрат со стороной 20км) во всех случаях можно считать плоскими. Отметки точек в большинстве работ необходимо знать с точностью до 1мм, поэтому влияние кривизны Земли на высоты точек необходимо учитывать уже при расстояниях более 100м (табл.2)

Влияние кривизны Земли на превышения Таблица 2

-*-

Тема 2: Топографические карты и планы. Профили местности

Понятие о плане, карте и профиле

Планы и карты получают проектированием земной на поверхность эллипсоида либо на горизонтальную плоскость с последующим уменьшением.

Топографическим планом называется уменьшенное и подобное изображение на бумаге горизонтальных проекций контуров и форм рельефа небольших участков местности без учета сферичности Земли (до 400км²). То есть, план - это изображение не действительных контуров, а их горизонтальных проекций. Размер площади, которую можно изобразить на плане, не выходя за пределы заданной точности, определяется формулой: r = ³Ö3R²DS , где r - радиус круга или сторона квадрата на местности в километрах; R - радиус земного шара, равный 6371км; DS - заданная точность определения расстояний, обычно принимается равной 1см. Этой точности соответствует круг радиусом r =10 км или квадрат со стороной 20км. Планы создают преимущественно в местной системе прямоугольных координат и географические координаты на них не подписывают. Итак, на плане изображение контуров подобное местности и масштаб плана постоянен на всей его площади. Картой называется уменьшенное, обобщенное и искаженное, вследствие влияния кривизны Земли, изображение на плоскости (бумаге) значительной части или всей земной поверхности построенное по определенным математическим законам - картографическим проекциям, в принятой системе условных знаков. То есть, на карте подобие изображаемых контуров местности нарушается, возникают несоответствия между расположением элементов местности в натуре и на проекции, называемые искажениями. Искажаются длины, углы и площади. Подобие сохраняется только в некоторых частях карты. Масштаб карты не постоянен и меняется не только в разных частях ее, но и по разным направлениям, выходящим из одной точки. Он сохраняется (постоянен) только в некоторых точках и на некоторых линиях карты.

Профилем местности называется уменьшенное изображение на плоскости вертикального разреза земной поверхности по заданному направлению (линии). Разрез местности представляет собой кривую линию, а на профиле его изображают в виде ломаной линии с изломами в точках перегиба рельефа (изменения крутизны скатов). Уровенную поверхность на профиле изображают прямой линией и называют условным горизонтом (задают условную отметку). Для наглядности вертикальные отрезки - высоты - изображают в более крупном масштабе, чем горизонтальные расстояния между точками излома, обычно в 10 раз, например, если Мг = 1: 5000, то Мв = 1:500.