Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
(*)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
где . Коэффициенты
называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Опишем метод Гаусса подробнее.
Прямой ход.
Будем считать, что элемент (если
, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при
отличен от нуля).
Преобразуем систему (*), исключив неизвестное во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на
и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на
и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (*) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида ,а
, то это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные
. Затем подставляем значение
в предпоследнее уравнение системы и выражаем
через
, затем находим
. Придавая свободным неизвестным
произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания:1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим
, из предпоследнего уравнения
, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные
.
2. На практике удобнее работать не с системой (*), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на
).
Пример 4. Решить систему методом Гаусса:
Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы: . Если положить, например,
, то найдем одно из частных решений этой системы
.
Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1188;